高考数学一轮复习 第5章 第3节 课时分层训练30

这是一份高考数学一轮复习 第5章 第3节 课时分层训练30，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
【导学号：31222184】
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [由等比数列的性质得，a3·a9＝aeq \\al(2,6)≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.]
2．(2016·重庆巴蜀中学3月模拟)我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？
( ) 【导学号：31222185】
A．5 B．4
C．3D．2
C [设塔顶有x盏灯，则由题意知eq \f(x1－27,1－2)＝381，解得x＝3.故选C.]
3．(2016·广东肇庆三模)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( )
A．－3B．－1
C．1D．3
D [两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得eq \f(a4,a3)＝3，即q＝3.]
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝
( )
A．2B．1
C.eq \f(1,2)D.eq \f(1,8)
C [法一：∵a3a5＝aeq \\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，∴aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝eq \f(a4,a1)＝eq \f(2,\f(1,4))＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2)，故选C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝eq \f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,2)，故选C.]
5．(2017·合肥二次质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是( )
A．{an}是单调递减数列
B．{Sn}是单调递减数列
C．{a2n}是单调递减数列
D．{S2n}是单调递减数列
C [设等比数列{an}的公比为q，则a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因为a2＝12，所以q4＝eq \f(1,36)，则q2＝eq \f(1,6)，所以数列{a2n}是首项为12，公比为eq \f(1,6)的等比数列，则数列{a2n}为单调递减数列，故选C.]
二、填空题
6．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2eq \r(6)，c＝5－2eq \r(6)，则b＝__________. 【导学号：31222186】
1 [∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2eq \r(6))(5－2eq \r(6))＝1.又b>0，∴b＝1.]
7．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
1 121 [∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))是公比为3的等比数列，
∴eq \f(S2＋\f(1,2),S1＋\f(1,2))＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(S1＋\f(1,2)))×34＝eq \f(3,2)×34＝eq \f(243,2)，
∴S5＝121.]
8．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．
2n－eq \f(1,2n－1)＋1 [依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为eq \f(1×1－2n,1－2)＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝2－eq \f(1,2n－1)，所以Sn＝2n－1＋2－eq \f(1,2n－1)＝2n－eq \f(1,2n－1)＋1.]
三、解答题
9．数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解] (1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，2分
∴eq \f(bn＋1＋2,bn＋2)＝2, 又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，
∴数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.5分
(2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)，
∴an－1－an－2＝2n－1－2(n>2)，
…，a2－a1＝22－2，
∴an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，9分
∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝eq \f(22n－1,2－1)－2n＋2＝2n＋1－2n.
∴Sn＝eq \f(41－2n,1－2)－eq \f(n2＋2n,2)＝2n＋2－(n2＋n＋4).12分
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N*)，
n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.2分
因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得an＝eq \f(4,3)an－1.
又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为eq \f(4,3)的等比数列.5分
(2)由(1)知an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－1，
由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，
得bn＋1－bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－1.7分
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－1,1－\f(4,3))
＝3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－1－1(n≥2).10分
当n＝1时也满足，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－1－1(n∈N*).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·安徽安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于( ) 【导学号：31222187】
A．1 B．－1
C.eq \f(1,2)D．2
D [由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－\f(2,λ))).由于数列{an－1}是等比数列，所以eq \f(2,λ)＝1，得λ＝2.]
2．(2016·广东肇庆三模)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝__________.
34 [由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(5,4)，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－\f(1,2)an))为等比数列．
[解] (1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)＋a4))＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)))
＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)))＋1，
解得a4＝eq \f(7,8).
(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
∵4a3＋a1＝4×eq \f(5,4)＋1＝6＝4a2，
∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，
∴eq \f(an＋2－\f(1,2)an＋1,an＋1－\f(1,2)an)＝eq \f(4an＋2－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq \f(4an＋1－an－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq \f(2an＋1－an,22an＋1－an)＝eq \f(1,2)，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－\f(1,2)an))是以a2－eq \f(1,2)a1＝1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列．