高三数学一轮复习： 第6章 第5节 直接证明与间接证明

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第五节　直接证明与间接证明 [考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示书写格式因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…2.间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　)(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)A．综合法　　　　　　 B.分析法C．反证法  D.归纳法B　[要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.]4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是__________．>　[∵－＝>0，∴>.]5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．等边　[由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．]综合法　已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．[证明]　(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.2分在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，4分所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.5分(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点.8分同理，P点也是α与β的公共点.9分所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.12分[规律方法]　综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1]　已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x)．[解]　(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，2分由题意得解得a＝0，b＝1.5分(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．h′(x)＝－x2＋x－1＝.8分所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).12分分析法　已知a>0，求证：－≥a＋－2. 【导学号：01772227】[证明]　要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.2分因为a>0，故只需要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，8分从而只需要证2≥，只需要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.12分[规律方法]　1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．[变式训练2]　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，3分只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，5分又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，10分即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立.12分反证法　设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 【导学号：01772228】[解]　(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝5分(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.8分∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.12分[规律方法]　用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[变式训练3]　已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根．[证明]　假设三个方程都没有实数根，则⇒6分∴－<a<－1.10分这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立.12分 [思想与方法]1．综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．2．反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法证明的关键：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．[易错与防范]1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．