新疆乌鲁木齐市第八中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题+Word版含答案

这是一份新疆乌鲁木齐市第八中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题+Word版含答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 乌鲁木齐市第八中学2020—2021学年第一学期高二年级期末考试数学(理科）问卷（考试时间：120分钟 卷面分值：150分）（命题范围：选修2-1，选修2-2）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）i是虚数单位，，则是为纯虚数的   条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多．则可以完全确定的是A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀
C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若C的右焦点到点A，O距离相等且长度为2，则双曲线的方程为A.  B.  C.  D. 下列四个函数中，在处取得极值的是
；；；．A.  B.  C.  D. 已知命题p“函数在上单调递增”，命题q“函数的图象恒过点”，则下列命题正确的是A.  B.  C.  D. 若，，当取最小值时，x的值等于A. 19 B.  C.  D. 如图所示，正方体的棱长为a，M，N分别为和AC上的点，且，则MN与平面的位置关系是    斜交                  B. 平行
C. 垂直                  D. 不能确定 设曲线上任一点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为A.  B.
C.  D. 已知抛物线C：的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为A.  B.  C.  D. 已知，是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率e的取值范围是   A.  B.  C.  D. 已知函数，，，，，依此类推，A.  B.  C. 0 D. 某市响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行大力整治．目前该市的空气质量位于全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到该市的国家森林湿地公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻，则当x等于多少时，该时刻的空气质量指数最高      A. 10 B. 11 C. 12 D. 13       二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在OA边上，且，N为BC的中点，则________用表示．


  曲线，及所围成的图形的面积为________．已知定点，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使取得最小值时M点的坐标__________已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）数列中，，前n项的和记为．求的值，并猜想的表达式；请用数学归纳法证明你的猜想．
 分别根据下列条件，求双曲线的标准方程．右焦点为，离心率；双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线与椭圆有公共焦点．
    如图所示，在中，AD是BC边上的高，且，，E是BD的中点．现沿AD进行翻折，使得平面平面ABD，得到的图形如图所示．Ⅰ求证：；Ⅱ求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．已知，，若为真命题，求x的取值范围 设，，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知函数R当时，求函数的最值；若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且 ．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点F作两条互相垂直的直线 ，直线与椭圆C交于两点，直线与直线 交于点T，求的取值范围．


 
 2020—2021学年第一学期高二数学（理科）期末考试答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.【答案】B【解析】解：复数是纯虚数，则，
“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B
复数是纯虚数，则，即可判断出结论．
本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，
又因为丙说：乙达到优秀的科目比我多，所以乙至少有两个科目达到优秀，
因为乙说：我的英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科目达到优秀，所以丙只有一个科目达到优秀，
故选：C．
由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，乙至少有两个科目达到优秀，又乙说：我的英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科目达到优秀，丙只有一个科目达到优秀，
本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．3.【答案】A【解答】
解：由题意，可得，故，
不妨设渐近线方程为，则，
故，
由，
由，解得，，
即有双曲线的方程为，
故选A．
 4.【答案】B【解答】
解：恒成立，所以函数在R上递增，无极值点
，当时函数单调递增；当时函数单调递减且符合
结合该函数图象可知在递增，在递减，符合
在R上递增，无极值点
故选：B．5.【答案】D【解析】【解答】
解：函数的定义域为：，
故命题p“函数在上单调递增”，为假命题；
令，则，，故函数的图象恒过点，
故命题q“函数的图象恒过点”，为假命题；
则，，均为假命题；
为真命题，
故选：D．
6.【答案】C【解答】
解：，
则
，
故当时，取最小值，7.【答案】B【解答】解：设，，
由题意，知．又，
，，则，因此，与，共面，
平面，从而平面C.8.【答案】A【解答】
解：，，
，，
为奇函数，
故排除B、D．
令，．
故排除C．
故选A．
 9.【答案】A解：抛物线C：，即，可得准线方程为：，焦点，
过点且斜率的直线l：，
由题意可得：，可得，
直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：，
则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：．
故选：A．
求出抛物线的标准方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．
本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．
10.【答案】C【解答】
解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：
存在点P为椭圆上一点，使得，
中，，可得中，，
所以，即，其中
，可得，即
椭圆离心率，且

故选C．

 11.【答案】A【解析】解：函数，
，
，
，

，
，
即是周期为4的周期函数，
则，
所以，
故选：A．
利用两角和的正弦公式将函数化简，求函数的导数，判断函数的周期，利用函数的周期进行计算即可．
本题主要考查导数的计算，根据函数的导数公式判断函数的周期是解决本题的关键．
 12【答案】C【解答】
解：由题意，得 ，
当时，，当时，，
故时，递增；时，递减
所以当时，取得最大值，
所以此时刻的空气质量指数最高．
故选C．
 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.【答案】【解析】
解：，，，，N为BC的中点，

．
故答案为．
 14.【答案】【解答】
解：作出图形，如图所示．所以．故答案为．15.【答案】【解答】
解：显然椭圆的，，，设左焦点为
由椭圆的定义可知故

当A，M，在同一条直线上且M在第二象限时，取得最小值，
令代入椭圆方程得，由于M在第二象限，故
故答案为：．
 16.【答案】【解析】解：定义域为R的奇函数，
为R上的偶函数，

当时，，
当时，，
当时，，
即在单调递增，在单调递减．
，，，
，
．
即．
故答案为：．
根据式子得出为R上的偶函数，利用，当时，，当时，，判断单调性即可证明a，b，c的大小．
本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．
 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.【答案】解，

猜想
证明：当时， ，猜想成立；
假设当时，猜想成立，即：；
当时，，
时猜想成立，
由、得猜想成立．【解析】本题主要考查数列的递推公式及数列求和，以及数学归纳法，是基础题．
根据，可求，，的值，进而猜想的表达式；
由猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明即可．
 18.【答案】解：右焦点为，
双曲线的焦点在x轴上，且．
又离心率，，，
所求双曲线的标准方程为．
解：设双曲线的方程是，
双曲线的一条渐近线方程是，

再根据椭圆的方程可知，双曲线的焦点是和，
双曲线方程中的，．
解得，，
所求双曲线的标准方程为．【解析】本题考查双曲线标准方程的求法，根据双曲线的焦点在x轴上，且，然后根据离心率求出结果，属于基础题．
本题考查椭圆的标准方程和双曲线标准方程的求法，根据渐近线可得，然后根据椭圆的焦点即可求出双曲线的焦点，即可求出结果，属于基础题．
 19.【答案】证明：Ⅰ由图可知，在图中，，
平面平面ABD，平面平面，平面ABD，
平面ACD，
平面ACD，
．
解：Ⅱ由Ⅰ可知平面ACD，平面ACD，．
以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设，则2，，0，，0，，，
，，．
设平面BCE的法向量为，
则，即
令，得，，则是平面BCE的一个法向量．
设直线AE与平面BCE所成角为，
则，
故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为．【解析】本题主要考查了面面垂直和线面垂直的性质，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
Ⅰ根据已知可得，，因为平面平面ABD，根据面面垂直的性质，可得平面ACD，再根据线面垂直的性质，即可得到；
Ⅱ正确建立空间直角坐标系，求出向量，再求出平面BCE的法向量，故直线AE与平面BCE所成角的正弦值即可得．
 【答案】解：，即，即．当为真命题时，有，所以x的取值范围是．，即，即．因为是的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件．则有，所以或，解得，即实数a的取值范围是【解析】本题考查了复合命题及其真假和充分必要条件的判定，属基础题．
根据复合命题的真值表知：p真q假；由此求出x的取值范围；
非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集．
 21.【答案】解：当时，，其定义域是，---------分
-------------------分
令，即，解得或．
，舍去．
当时，；当时，．
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
当时，函数取得最大值，其值为---分
法一：因为其定义域为，
所以
当时，，
在区间上为增函数，不合题意----------分
当时，等价于，即．
此时的单调递减区间为．
依题意，得解之得-------------------分
当时，等价于，即
此时的单调递减区间为，
得分
综上，实数a的取值范围是-----------分
法二：，

由在区间上是减函数，可得在区间上恒成立．--------------8分
当时，不合题意----------------------------------10
当时，可得即
-----------14分
----------------------------------16分【解析】把代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数最大值；
对参数a进行讨论，然后利用导数注意函数的定义域来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间比较，即只需要即可解答参数的取值范围；方法二是要使函数在区间上是减函数，我们可以转化为在区间上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．
本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．
 22.【答案】解：Ⅰ由得其焦点坐标是，
设，，
则，解得：，
，
由点B在椭圆C上，得，
即，又，
解得：，，
椭圆C的方程是；
Ⅱ设直线PQ的方程为，，，
由，得，
则，
，，
，
当时，直线FT的方程为，
由，得，，
即，
，
，
设，则，
则，
应用在递增，则，
当时，PQ的中点是F，，
则，，，
综上，，
故的取值范围是．【解析】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和圆的位置关系以及不等式的应用，是一道综合题．
Ⅰ得出B的坐标，带入椭圆的方程，求出，的值，求出椭圆方程即可；
Ⅱ设直线PQ的方程为，，，联立方程组，得到，表示出，求出其范围即可．