2021年河南省九年级第四届名校联盟考数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年河南省九年级第四届名校联盟考数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省九年级第四届名校联盟考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．－2021的绝对值是（ ）
A．－2021 B．2021 C． D．
2．植物学家在厄瓜多尔意外地发现了一种兰花新物种，是兰花物种中最小的一种，花瓣直径仅2.1毫米，把2.1毫米用科学记数法表示为米，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列立体图形的主视图与左视图相同是（ ）

A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的外角，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．某学校对学生的期末操行评语成绩按班委评分、任课教师评分、家长评分三方面确定成绩（评分满分均为100分），若三方面依次按2：5：3确定成绩，且某同学所评的得分依次为90分、92分、91分，则该同学评分的最后得分是（ ）
A．91分 B．91.3分 C．91.2分 D．91.1分
7．将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
8．如图，的对角线与相交于点，且．若是边的中点，，，则的长为（ ）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
9．在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、．作直线，分别交、于点、，连接，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
10．某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点出发，沿…运动，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题
11．计算：___________．
12．不等式组的解集为___________．
13．在一个不透明的袋子里，放着标有数字2、5、7、8的四个小球（除数字不同外，其余都相同），在看不见的情况下随机摸出2个球，则摸出的两个球上的数字的和不小于10的概率是___________．
14．如图，在中，，，以的中点为圆心，为半径作半圆．若，与分别交半圆于点、，则图中阴影部分的面积是___________．

15．如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片中，是的中点．是上一动点，将沿直线折叠，点落在点处．在上任取一点，连接，，则的最小值为___________．


三、解答题
16．先化简，再求值：．其中，．
17．如图，是的直径，是圆上不与点、重合的动点，连接并延长到点，使，连接，是的中点，连接、、．

（1）求证：．
（2）填空：
①若，当___________时，四边形是菱形；
②当___________时，四边形是正方形．
18．为了了解中学生对父母的关心程度，某校九年级兴趣小组利用课外活动时间随机调查了某市若干名学生对父母关心程度的情况（．给父母送自制的生日礼物；．陪父母聊天；．主动帮父母做家务；．知道母亲或父亲某个人的生日；．知道母亲和父亲的生日），并将调查结果绘制成条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）（不完整）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次调查的学生有___________人．
（2）将图1补充完整．
（3）在扇形统计图中，部分所对应的圆心角的度数是___________．
（4）根据抽样调查结果，请你估计该市90000名中学生中主动帮父母做家务的有多少人？
19．如图，某公园有一小亭，它周围350米内是文物保护区．某勘探队员在公园由西向东行走，在处测得小亭在北偏东的方向上，若勘探队员行走的速度是每分钟60米，从点走到点需要20分钟，此时测得小亭在北偏西的方向上．若该公园打算沿射线的方向修一条笔直的小路，则此小路是否会通过文物保护区？请说明理由．（结果保留整数．参考数据：，，，）

20．如图，直线与双曲线相交于、两点，直线与轴相交于点，点的坐标是，，为轴正半轴上一点，且．

（1）双曲线的解析式是 ，直线的解析式是___________．
（2）求证：．
（3）当时，的取值范围是___________．
21．某超市每天能销售河南特产“伊川富硒小米”和“伊川贡小米”共21袋（5斤装），且“伊川富硒小米”6天销售的袋数与“伊川贡小米”8天销售的袋数相同．
（1）该超市每天销售“伊川富硒小米”和“伊川贡小米”各多少袋？
（2）“伊川富硒小米”每袋进价20元，售价25元；“伊川贡小米”每袋进价30元，售价33元．若超市打算购进“伊川富硒小米”和“伊川贡小米”共80袋，其中“伊川富硒小米”不超过40袋，要求这80袋小米全部销售完后的总利润不少于316元，则该超市如何购进这两种小米获利最大？最大利润是多少元？
22．（1）观察猜想：如图1，在中，，，是的平分线，以为一边作正方形，点与点重合，则___________．
（2）类比探究：在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接、、，（1）中的结论是否成立？请按图2加以证明．
（3）问题解决：当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长．

23．已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线的顶点为，连接、，．
（1）求抛物线的顶点的坐标．
（2）求证：，
（3）点在抛物线上，点在直线上，是否存在点、使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【分析】
一个数的数绝对值是非负数，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】
－2021的绝对值是2021；
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，以及求绝对值，掌握一个负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．
2．B
【分析】
由于2.1毫米＝0.0021米，把它用科学记数法表示，则可确定n的值．
【详解】
∵2.1毫米＝0.0021米＝2.1×10-3米
∴n=-3
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学记数法，把毫米化成米时，注意单位进率不要错了，同时这是绝对值小于1的数，用科学记数法a×10n表示时，正确确定n及a的值．
3．D
【分析】
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【详解】
解：圆锥的主视图和左视图为全等的等腰三角形；
球的主视图和左视图均为圆；
圆柱的主视图和左视图为全等的矩形；
正方体的主视图和左视图为全等的正方形．
∴主视图与左视图相同是①②③④．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．C
【分析】
根据完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘除法法则进行计算，然后对照结果即可判断正确答案．
【详解】
解：A、根据完全平方公式得，(x+y)2=x2+2xy+y2，∴原式错误；
B、根据积的乘方法则得，(a10)2=a20，∴原式错误；
C、根据同底数幂的除法法则得，x11÷x6=x5，∴原式正确；
D、根据同底数幂的乘法法则得，x3•x5=x8，∴原式错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘除法法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．A
【分析】
根据∠ACD=∠A，得出AB与CD平行，进而利用平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ACD=∠A，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-50°=130°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，关键是根据∠ACD=∠A，得出AB与CD平行解答．
6．B
【分析】
根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】
该同学评分的最后得分是（分）．
故选：B．
【点睛】
考查求加权平均数，解题关键是掌握加权平均数的定义、熟记计算公式．
7．B
【分析】
先将方程写成一元二次方程，然后再运用一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】
解：∵
∴x2-6x=-9，即x2-6x+9=0
∵△=（-6）2-4×9×1=0
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，正确列出一元二次方程并会用根的判别式判断根的情况成为解答本题的关键．
8．B
【分析】
由可知，，在直角△OCD中用勾股定理即可求出OC的值，再通过OE为△BCD的中位线即可得到OE的值．
【详解】
解：∵的对角线，，
∴，，
∵
∴，
又∵是边的中点，
∴OE为△BCD的中位线，即.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，发现OE为△BCD的中位线是解题的关键．
9．C
【分析】
证明∠C=30°，解直角三角形求出AE=EC=6，可得结论．
【详解】
解：∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=75°，
∴∠C=180°-2×75°=30°，
∵DE垂直平分线段AC，
∴CD=AD=9，∠CDE=90°，，
∴△AEC的周长=AC+EC+EA=，
故选：C．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．B
【分析】
仔细观察点的变化规律，利用规律写出答案即可．
【详解】
解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，
∴An（2n-1，2n+1），
∴A2021的坐标为：（22021-1，22021+1），
故选：B．
【点睛】
本题考查了点的坐标规律探索，解题的关键是得到点的坐标变化规律，难度不大．
11．0
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：
=-1+1
=0．
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．
【分析】
分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
【详解】
解：，
解不等式①得：x≥-5，
解不等式②得：x＜6．
故不等式组的解集为-5≤x＜6．
故答案为：-5≤x＜6．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．
【分析】
画树状图，共有12个等可能的结果，摸出的两个球上的数字的和不小于10的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，摸出的两个球上的数字的和不小于10的结果有8个，
∴摸出的两个球上的数字的和不小于10的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14． cm2，
【分析】
作OL⊥AB于L，ON⊥BC于N，证明△OLG≌△ONH，则S四边形OGBH=S四边形OLBN，求得扇形FOE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【详解】
解：作OL⊥AB于L，ON⊥BC于N．

∵AB=CB=6cm，∠ABC=90°，点O为AB的中点，
∴cm，四边形OLBN是矩形，
∴cm，
则扇形EOF的面积是：，
∵AB=CB，∠ABC=90°，点O为AC的中点，
∴OB平分∠ABC，
又∵OL⊥AB，ON⊥BC，
∴OL=ON=3cm，
∴矩形OLBN是正方形，
∵∠GOH=∠LON=90°，
∴∠GOL=∠HON，
在△OLG和△ONH中，
，
∴△OLG≌△ONH（AAS），
∴S四边形OGBH=S四边形OLBNcm2，
则阴影部分的面积是： cm2，
故答案为： cm2．
【点睛】
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△OLG≌△ONH，得到S四边形OGBH=S四边形OLBN是关键．
15．
【分析】
连接AC交EF于H，连接A′H，当点G与点H重合时，此时A'G+GC的值最小，由勾股定理求出AC的长，则可得出答案．
【详解】
解：连接AC交EF于H，连接A′H，当点G与点H重合时，此时A'G+GC的值最小，

设AB=x，BC=y，
∵矩形ABCD的周长为16，面积为6，
∴，
∴，
∴．
∴A'G+GC的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
16．；20
【分析】
原式利用完全平方公式，平方差公式化简，单项式乘多项式的法则化简，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：

．
当，时，
原式


．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（1）见解析；（2）①8；②45
【分析】
(1) 如图，连接PB，AB是的直径推出BP⊥AD，推出BP是线段AD的垂直平分线，即证出结论;
(2)①先证四边形AOCP是平行四边形，即可得出当AP=OA=AB=8时，平行四边形AOCP是菱形;②由四边形OBCP是正方形推出∠OPA=∠A=45°=∠POB．再由PC//AO，可得出∠DPC=∠A=45°
【详解】
解：（1）证明：如图，连接．

∵是的直径，
∴．
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
（2）①∵AP=PD，BC=DC，
∴PC∥AO， PC=AB，
∴AB是的直径，
∴OA=OB=AB，
∴OA=PC，
∴四边形AOCP是平行四边形，
∴当AP=OA=AB=8时，平行四边形AOCP是菱形，
故答案为:8．
②当四边形OBCP是正方形时，∠POB=90°
∵OA=OP
∴∠OPA=∠A=45°=∠POB
PC//AO，
∴∠DPC=∠A=45°
故答案为: 45．
【点睛】
本题考查圆周角定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、灵活进行角的等量转换是关键，熟练掌握特殊四边形的判定是重点．
18．（1）2000；（2）见解析；（3）18°；（4）36000人
【分析】
（1）用D类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先计算出C类人数，然后补全条形统计图；
（3）用360°乘以A部分所占的百分比；
（4）用总人数乘以主动帮父母做家务所占的百分比即可．
【详解】
解：（1）此次调查的学生有：500÷25%=2000（人）；
故答案为：2000；
（2）C类人数有：2000-100-300-500-300=800（人），
补全统计图如下：

（3）A部分所对应的圆心角的度数是360°×=18°．
故答案为：18°．
（4）90000×=36000（人），
答：该市90000名中学生中主动帮父母做家务的有36000人．
【点睛】
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体．
19．小路不会通过文物保护区，见解析
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x米，先由锐角三角函数定义得BD≈x，AD=x，再由AB的长得出方程，解方程即可．
【详解】
解：此小路不会通过文物保护区．
理由如下：
如图，过点作于点．设米．

∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，
此小路不会通过文物保护区．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题．作辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
20．（1），；（2）证明见解析；（3）或．
【分析】
(1)通过解直角三角形求出点A的坐标，进而得出反比例函数解析式，进而求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)根据和的面积计算公式，即可得出结论；
(3)结合两函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象下方时的取值范围即可．
【详解】
解：(1)过点A作轴于点D，
如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
将点A的坐标代入反比例函数，
得，
∴双曲线的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得，
∴点，
把，代入，
，解得，
∴直线的解析式是，
故答案为：，．
(2)证明：由(1)可得点在直线上，
∴，∴，
∴，∴，
∴，，
∴．
（3）当时，
的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：(1)通过解直角三角形求出点A的坐标，并利用待定系数法求出函数解析式，(2)在计算三角形面积时，若三角形的一边与坐标轴平行或垂直，则一般以该边为底边，(3)利用函数图象解不等式．
21．（1）伊川富硒小米12袋，伊川贡小米9袋；（2）该超市购进伊川富硒小米40袋，伊川贡小米40袋获利最大，最大利润是320元．
【分析】
（1）设该超市每天销售“伊川富硒小米”袋，“伊川贡小米”袋，根据等量关系： “伊川富硒小米” 每天销售的袋数+“伊川贡小米” 每天销售的袋数=21；“伊川富硒小米”6天销售的袋数=“伊川贡小米”8天销售的袋数，即可列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进“伊川富硒小米”袋，则购进“伊川贡小米”袋，根据不等量关系：销售“伊川富硒小米”的利润+销售“伊川贡小米”利润≥316元，可得不等式，解不等式可求得a的范围；写出所获利润的函数关系式，即可求得最大利润 .
【详解】
（1）设该超市每天销售“伊川富硒小米”袋，“伊川贡小米”袋．
根据题意．得，解得，
答：该超市每天销售“伊川富硒小米”12袋，“伊川贡小米”9袋．
（2）设购进“伊川富硒小米”袋，则购进“伊川贡小米”袋．
根据题意，得，解得．
∵“伊川富硒小米”不超过40袋，
∴．
∵为正整数，
∴，39，40．
设获得的利润为元．
则．
∵是的－次函数，，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值为，此时．
答：该超市购进“伊川富硒小米”40袋，“伊川贡小米”40袋获利最大，最大利润是320元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数等知识，关键是找出列方程组所需的两个等量关系式及列一元一次不等式所需的不等关系，求一次函数的最大值时要注意自变量的取值范围．
22．（1）；（2）成立，见解析；（3）或．
【分析】
（1）先判断出△ABD为等腰直角三角形，进而得出AB=AD，即可得出结论；
（2）先利用三角函数得出，证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；
（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图3，先利用勾股定理求出EF=CF=CD=，BF=，即可得出BE的长，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．
【详解】
解：（1），理由是：
在 Rt△ABC 中，AB=AC，
根据勾股定理得，BC=AB，
又∵点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AB=AD，AD=，
∵四边形CDEF是正方形，
∴AF=EF=AD，
∴AB=AF，即，
故答案为：；
（2）（1）中的结论成立．
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）或．
如图2，当点E在线段BF上时，

由（1）知CF=EF=CD=，
∵在Rt△BCF中，CF=，CB=3，
∴，
∴．
由（2）知，
∴BE=AF，
∴，
∴，
如图3，当点E在线段BF的延长线上时，
同理可得，

∴，
∴，
综上所述，当正方形旋转到、、三点共线时，线段的长为或．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
23．（1）的坐标为；（2）见解析；（3）存在，点的坐标为或或
【分析】
（1）要求抛物线的顶点D的坐标，则必先求出抛物线的解析式，即求得b的值即可．由抛物线的解析式可求得A、B两点的坐标，从而可得OB的长，再由可得OC的长，因而可得点C的坐标，因此可得b的值，最后得点D的坐标；
（2）分别求出AC、CD、AD的长，可判定△ACD为直角三角形，余下得出△ACD和△COB中两直角对应成比例，由相似三角形的判定即可证得结论；
（3）分OC是平行四边形的一边和对角线两种情况加以讨论，然后分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图，由题意可知，．

∵，
∴，
∴点的坐标是，
∴，解得，
抛物线的解析式为，即，
∴抛物线的顶点的坐标为．
（2）证明：令，则或，故点．
又∵点、，
∴由勾股定理得，，，
∴，
∴由勾股定理逆定理得．
又∵，
∴，，
∴．
（3）存在，点的坐标为或或．
①当是平行四边形的－条边时，则PQ∥OC，且．
设点，点，
则，
，
解得（舍去）或或或；
所以点的坐标为或或．
②当OC是平行四边形的对角线时，则PC∥OQ，如图，

∵OA=OC=3，OA⊥OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
记直线y=x为直线l，
∵直线l是一、三象限的角平分线，
∴l⊥AC，
∵AC⊥CD，
∴l∥CD，
∴P点在直线CD上，Q点在直线l上，
由于直线CD与抛物线只有两个交点C和D，显然点C不符合题意，则D点有可能满足条件，由①知点D满足条件．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合应用，分别考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键．