新高考数学复习专题58 球的切、接、截问题中最值问题的研究（解析版）

这是一份新高考数学复习专题58 球的切、接、截问题中最值问题的研究（解析版），共16页。试卷主要包含了题型选讲，内切求的问题，综合性问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 、外接球的问题
例1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，
，,点M为三角形ABC的重心，，
中，有，，
，故选B.
例2、（2020·河北邯郸市·高三期末）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：，当且仅当时取等号，
因为侧面与底面成角，
则，
，
，
所以，
故外接球的表面积为.
故选：A.
例3、（湖北省九师联盟2021届高三联考）已知球的半径为点均在球面上，若为等边三角形，且其面积为则三棱锥的最大体积是___________.
【答案】
【分析】
根据三角形面积求出边长，即可求出三角形外接圆半径，继而可求出高的最大值，求出体积.
【解析】
设外接圆的圆心为
由是面积为的等边三角形，得解得，
则
当三棱棱锥体积最大时，球心在上，
因此有
所以的最大值为，
三棱锥的最大体积为.
故答案为：.
题型二、内切求的问题
例4、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
故答案为：.
例5、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．

【答案】
【解析】
（1）因为，所以该六面体的表面积为.
（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，
每个三角形面积是，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是.
由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，
所以，
所以球的体积.
故答案为： ；.
例6、【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，当该球为底面边长分别为、，高为的长方体的外接球时，球的半径取最小值，
所以，该球形容器的半径的最小值为，
因此，该球形容器的表面积的最小值为.
故选：C.
例7、（2021·江苏徐州市·高三期末）已知三棱锥外接球的表面积为，平面，，，则三棱锥体积的最大值为________.
【答案】
【解析】
设三边的长分别为，，，由三棱锥体积公式有，由外接球表面积知外接球半径，应用正弦定理以及含有棱面垂直关系的三棱锥：外接圆半径R、对应面外接圆半径r、棱长三者的关系有，即可求，再结合余弦定理求最值，进而求体积的最大值.
【详解】
设三边的长分别为，，，则三棱锥体积，
设外接球的半径为，由得，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，即，
又平面知，
所以，，即，
故，，当且仅当时取等号.
故答案为：
题型三、综合性问题
例8、（2021·潍坊市潍城区教育局高三月考）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．
【答案】
【解析】
如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，
过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，
连接，设外接球的半径为，所以，解得．
若是的中点，，重合，过点作球的截面，
则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，
而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为．
故答案为：，
例9、（2020·甘肃3月高考模拟月考（理））如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.
例10、（2021·浙江台州市·高三期末）已知长方体，底面是边长为4的正方形，高为2，点是底面的中心，点在以为球心，半径为1的球面上，设二面角的平面角为，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果.
【详解】
根据题意，如图所示：
取的中点，过点作球的切线，切点分别为，
可以判断为的最小值，为的最大值，
且，
，所以
，
，
，
所以的取值范围是，
故答案为：.
二、达标训练
1、（2021·湖北高三期末）现有一个三棱锥形状的工艺品，点在底面的投影为，满足，，，若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
作，连接PM，易证，由,得到，再根据，由对称性得到，然后根据，，求得，在中，由求解半径即可.
【详解】
如图所示：
作与M，连接PM，
因为平面ABC，
所以，又，
所以平面PQM，
所以，
所以,
,
因为，
由对称性得,
又因为，，
所以，
解得，
所以，
设外接球的半径为r，
在中，，即，
解得，
所以外接球的表面积为，
即该球形容器的表面积的最小值为.
故选：D
2、（湖北省武汉2020-2021学年高三质检）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且.过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将三棱锥补成长方体，设，计算出球的半径为，计算出截面圆半径的最大值和最小值，根据已知条件可求得的值，可求得球的半径，进而可求得球的表面积.
【解析】
平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示：
设，连接、、，可知点为的中点，
因为四边形为矩形，，则为的中点，所以，且，
设，且，，
所以，球的半径为，
在中，，，，，
在中，，，
由余弦定理可得，
平面，平面，
平面，则，
，，
设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则.
当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；
当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，
此时，取最小值，即.
由题意可得，，解得.
所以，，
因此，球的表面积为.
故选：B.
3、【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】如图，三棱锥的四个顶点恰是长､宽､高分别是，2，的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．
【答案】
【解析】 长方体的体对角线为
又因为三棱锥的外接球直径是长方体的体对角线


，
，当且仅当时，等号成立，
三棱锥外接球体积的最小值为，故答案为：.
4、（2020·山东济南外国语学校高三月考）用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为．设底面边长，则，
，
等号成立当且仅当，故选D.