专题09（圆锥曲线中的轨迹问题)（试卷）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题九   圆锥曲线中的轨迹问题       例题1.（2019全国Ⅰ，21题）已知点A，B关于坐标原点O对称，，过点A，B且与直线相切．
若A在直线上，求的半径；
是否存在定点P，使得当A运动时，为定值？并说明理由．【分析】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了曲线轨迹方程的求法，属于难题．
由条件知点M在线段AB的中垂线上，设圆的方程为的方程为，然后根据圆与直线相切和圆心到直线的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；
设M的坐标为，然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为，根据抛物线的定义即可得到定点．
 思维升华此类问题常考察圆锥曲线的的方程及其性质，直线方程的几种形式，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式等。该类问题的解题思路是“联立方程消元”、“点差法”、“设而不求”、“判别式法”等。在解题过程中要根据题目灵活选择方法。【答案】解：过点A，B且A在直线上，
点M在线段AB的中垂线上，
设的方程为：，则
圆心到直线的距离，
又，在中，
，
即
又与相切，
由解得或
的半径为2或6；
存在点p，使得当A运动时，为定值，
理由如下：线段AB为的一条弦，圆心M在线段AB的中垂线上，
设点M的坐标为，则，
与直线相切，，
，
，
的轨迹是以为焦点为准线的抛物线，

，
当为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为，
存在定点使得当A运动时，为定值． 例2.（2019全国Ⅱ，19题）已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C．
求C的方程，并说明C是什么曲线；
过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．【答案】解：由题意得，
整理得曲线C的方程：，
曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；

设，则，
，，
直线QE的方程为：，
与联立消去y，
得，
，
，
，



，
把代入上式，
得，
，
，故为直角三角形；










令，则，

利用“对勾”函数在的单调性可知，
时取等号，
此时，
故面积的最大值为．【解析】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，计算难度大．
利用直接法不难得到方程；
设，则，，利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，进而证得PQ，PG斜率之积为；
利用，代入已得数据，并对换元，利用“对勾”函数可得最值．
   变式1.已知圆的方程为：，点的坐标为点P为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点D．
求点D的轨迹E的方程；
点Q是圆上异于点和的任一点，直线AQ与轨迹E交于点M，N，直线BQ与轨迹E交于点S，设O为坐标原点，直线OM，ON，OS，OT的斜率分别为，，，问：是否存在常数r，使得恒成立？若存在，求r的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：点D在的垂直平分线上，，，点D的轨迹E是以，为焦点的椭圆，其方程为；设直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，，，，，由得，，，，同理，，．，．【解析】本题考查了椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的轨迹问题以及探索性问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意，可推出点D的轨迹E是以，为焦点的椭圆，由此可得轨迹E的方程；
设直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，将直线AQ的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可得当时，满足恒成立．
 变式2.在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切．设动圆的圆心Q的轨迹为曲线．Ⅰ求曲线的方程；Ⅱ过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点．设、的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点．【答案】解：Ⅰ设，依题意可得：，化简得：．Ⅱ设，的方程为，，联立得  所以，则，同理所以，由可得：所以直线MN的方程为：化简整理得：，所以直线MN恒过定点．【解析】本题考查动点轨迹方程求法，考查直线与抛物线的位置关系及直线过定点问题，属中档题．
设，依题意可得：，化简即可．
设，的方程为，，与抛物线方程联立求得，，
得直线MN的方程为：，化简整理得：，即可求得结果． 串讲1.己知在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到直线的距离相等．求动点P的轨迹E的方程；经过点作任一直线l与轨迹E相交于A、B两点，过A点作直线的垂线，垂足为C点，求证：B、O、C三点共线．【答案】解：由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，点为焦点，直线为准线
故，点P的轨连方程为
由题意知：直线l的斜率存在设直线方程为，设，
直线与抛物线联立：，得
恒成立，，
要证点、、共线
即证

而
即B、O、C三点共线．【解析】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系以及利用斜率相等证明三点共线，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质和等价转化思想的合理运用．
依题意，点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此能求出抛物线的方程．
设直线方程为，直线与抛物线联立，结合韦达定理以及要证点、、共线等价转化为，即可证明B、O、C三点共线．
      串讲2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1．
求曲线C的方程；
若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补．【答案】解：线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1，
所以动点M到直线的距离与它到点的距离相等，
故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线，
证明：设，
联立，化为，．
由于，
，．
直线FA与直线FB的斜率之和，
分子，
直线FA与直线FB的斜率之和为0，
直线FA与直线FB的倾斜角互补．【解析】利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P的轨迹；
设，直线与抛物线方程联立化为，由于，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线FA与直线FB的斜率之和0，即可证明
本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．