考点21 圆的有关概念和性质—2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第1步小题夯基础

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真题回顾

1．（2020•宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．
【解析】∵∠FEG＝50°，
若P点圆心，
∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．
故选：C．
2．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110°B．130°C．140°D．160°
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
【解析】如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
3．（2020•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8B．12C．16D．2
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【解析】连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM=，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
4．（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（ ）
A．14°B．28°C．42°D．56°
【分析】根据垂径定理，可得，∠APC＝28°，根据圆周角定理，可得∠BOC．
【解析】∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴，
∵∠APC＝28°，
∴∠BOC＝2∠APC＝56°，
故选：D．
5．（2020•杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【解析】∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
6．（2020•泸州）如图，⊙O中，，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解析】∵，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
7．（2020•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为 ．
【分析】先根据圆周角定理得到∠BAC=∠BOC＝60°，然后利用角平分线的定义确定∠CAD的度数．
【解析】∵∠BAC=∠BOC=×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC＝30°．
故答案为30°．
8．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ °．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解析】∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
故答案为：50．
9．（2020•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=CD＝4，
在Rt△OCH中，OH3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
10．（2020•内江）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB=∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解析】连接OB，如图，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠COB=∠AOC=×120°＝60°，
∴∠D=∠AOB＝30°．
故选：A．
11．（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解析】如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
12．（2020•深圳）以下说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．圆周角等于圆心角的一半
C．分式方程的解为x＝2 D．三角形的一个外角等于两个内角的和
【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；利用分式方程有检验可对C进行判断；根据三角形外角性质对D进行判断．
【解析】A、平行四边形的对边相等，所以A选项正确；
B、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B选项错误；
C、去分母得1＝x﹣1﹣2（x﹣2），解得x＝2，经检验原方程无解，所以C选项错误；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以D选项错误．
故选：A．
13．（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 °．
【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．
【解析】如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD：OB＝1：2，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．
故答案为：60°或120°．
模拟预测
1.(2020广州番禺模拟)如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P是 上不同于点C的任意一点,则
∠BPC的大小是 ( )
A.22.5° B.45° C.30° D.50°
【解析】本题主要考查了圆内接正多边形的性质和圆周角定理的应用。
如图,连接OB、OC,则∠BOC=90°.根据圆周角定理,得∠BPC=∠BOC=45°
故选B
2.(2020深圳坪山一模)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠ABD等于( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
【解析】∵∠BOC=110°,∴∠AOC=180°-110°=70°.
∵AD∥OC,∴∠AOC=∠DAB=70°.
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-70°=20°
故选 A
3.(2019广州增城一模,7)下图由直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成,点A为60°角与直尺的交
点,点B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是 ( )
A.6 B.3 C.6 D.3
【解析】设光盘的圆心为O,三角板与光盘的切点为C,连接OA、OB、OC.

由切线长定理知AC=AB=3,
又∵OB⊥AB,OC⊥AC,OA=OA,∴Rt△OAB≌Rt△OAC,
∴∠OAB=∠OAC=∠BAC=×(180°-60°)=60°.
在Rt△ABO中,OB=ABtan∠OAB=3,
∴光盘的直径为6,
故选A.