专题13 二次函数（知识点串讲） -2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如（ QUOTE a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数，而 QUOTE b，c可以为零．
二次函数的结构特征：
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
知识点2：二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的基本表现形式：
①；②；③；④；⑤.
第一种：二次函数的性质（最基础）
第二种：二次函数的性质
第三种：二次函数的性质
第四种：二次函数的性质
二次函数用配方法可化成：
的形式，其中.
二次函数图象的平移
平移步骤：
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）
公式法：，
∴顶点是，对称轴是直线.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握）
二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）．
在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）．
【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
知识点三 抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）
三点式（带入）
1，已知抛物线y=ax = 2 \* Arabic 2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
顶点式（顶点坐标（-，））
1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
交点式（带入）
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
定点式
在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。
2.抛物线y= x2 +(2m-2)x-4m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
解：抛物线与X轴相交，Y=0
x2+(2m-2)X-4m=0
x2-2X+2mx-4m=0
X(X-2)+2m(X-2)=0
(X-2)(X+2m)=0
所以 x=2 必过（2,0） 代入直线 得m=-
Y= x2-x+
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
直线y=mx-2m+2
y=m(x-2)+2 直线经过定点，则与m的取值无关，所以
x-2=0 y=2
即定点坐标为A（2,2）
所抛物线y=ax2+ax-2过(2,2)
2=6a-2
6a=4
a=
【考查题型】
考查题型一 二次函数的图像与性质
【解题思路】二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点, 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
典例1．（2020·四川南充市·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
变式1-1．（2020·辽宁阜新市·中考真题）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点
【答案】C
【提示】由抛物线的二次项的系数判断A，把抛物线写成顶点式，可判断B，由得抛物线的图像在对称轴的左侧，从而得到y随x的增大而增大，利用的值，判断D．
【详解】解：＜ 所以抛物线的开口向下，故A错误，
所以抛物线的顶点为： 故B错误，
当，即在抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故C正确，

＞
所以抛物线与轴有两个交点，故D错误，
故选C．
变式1-2．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【提示】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
变式1-3．（2020·山东德州市·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【提示】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等
则当时，函数值为
，则选项A正确
又当时，
，即，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点
则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
即方程有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
变式1-4．（2020·四川成都市·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
【答案】D
【提示】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；
令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；
令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误；
∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．
故选：D．
变式1-5．（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ）
A．B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【提示】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a0，故④正确；
故答案选：B．
变式2-5．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
变式2-6．（2020·山东威海市·中考真题）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为B．
C．D．
【答案】D
【提示】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
【详解】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1，
因此有：x＝−1＝−，即2a−b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
变式2-7．（2020·四川遂宁市·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4acB．abc＞0
C．a﹣c＜0D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
【答案】C
【提示】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
考查题型三 二次函数的对称性
【解题思路】考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
典例3．（2020·辽宁大连市·中考真题）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】由函数的对称性可得结论．
【详解】
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
变式3-1．（2020·内蒙古中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
【答案】4
【提示】通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
【详解】∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴,即,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
考查题型四 求二次函数的最值
【解题思路】考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
典例4．（2020·江苏镇江市中考真题）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
【答案】C
【提示】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
变式4-1．（2020·四川中考真题）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
【答案】
【提示】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
【详解】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴．
故答案为：．
变式4-2．（2020·西藏中考真题）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【答案】10
【提示】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
考查题型五 用待定系数法求二次函数解析式
【解题思路】考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
典例5．（2020·山东威海市·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
【答案】
【提示】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
【详解】解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得：，
∴函数的表达式为：．
故答案为：．
变式5-1．（2020·山东泰安市·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【提示】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
考查题型六 二次函数平移问题
【解题思路】考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
典例6．（2020·广东中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【提示】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
变式6-1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( )
A．y=(x+2)2﹣2B．y=(x﹣4)2+2
C．y=(x﹣1)2﹣1D．y=(x﹣1)2+5
【答案】D
【提示】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：，即；
故选：D．
变式6-2．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，
整理得，
故选：C．
考查题型七 利用二次函数解决实际问题
【解题思路】考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式尝试求解即可．
典例7．（2020·山东日照市·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2），见解析．
【提示】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；
（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．
【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即，
∴
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则，
∵，
∴，
解得，
∴．
变式7-1．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．
【答案】(1)AD=；(2) ，2≤x＜4.
【提示】(1)由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.
(2)把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式,再由条件求出范围即可.
【详解】(1)∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=x,
∴,即.
∴.
∴AD=.
(2).
对称轴为,二次函数开口向下,
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
变式7-2（2020·山东青岛市·中考真题）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元
【提示】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；
（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）
代入到
得解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=
∴N（1，）
∴MN=m，
∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，
则一扇窗户的价格为×50=75元
因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；
（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,
∵一个月最多生产160个，
∴100+20×≤160
解得n≥620
∵-2＜0
∴n≥620时，w随n的增大而减小
∴当n=620时，w最大=19200元．
变式7-3．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元（，且为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．
【提示】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）根据每周销售利润=每本笔记本的利润×每周销售数量可得w与x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出结果．
【详解】解：（1）设与之间的函数关系式是，
把，和，代入，得
，解得：，
；
（2）根据题意，得
；
，
有最大值，且当时，随的增大而增大，
为整数，
时，有最大值，且w最大（元）．
答：销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．
变式7-4．（2020·浙江台州市·中考真题）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
【提示】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20-a)=4b(20-b)，
∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20.
故答案为：a=b或a+b=20.
(3)设垫高的高度为m，则
∴当时，
∴时，此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
……
……
……
……
0
2
6
0
6
销售单价（元）
12
14
16
每周的销售量（本）
500
400
300