2020年四川省泸州市中考数学试卷

2020年四川省泸州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．（3分）2的倒数是　　

A． B． C．2 D．

2．（3分）将867000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图所示的几何体的主视图是　　

A． B． C． D．

4．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到的对应点的坐标为　　

A． B． C． D．

5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

6．（3分）下列各式运算正确的是　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，中，，．则的度数为　　

A． B． C． D．

8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：

那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是　　

A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4

9．（3分）下列命题是假命题的是　　

A．平行四边形的对角线互相平分 

B．矩形的对角线互相垂直 

C．菱形的对角线互相垂直平分 

D．正方形的对角线互相垂直平分且相等

10．（3分）已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为　　

A． B． C． D．

12．（3分）已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为　　

A． B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．

13．（3分）函数的自变量的取值范围是　　．

14．（3分）若与是同类项，则的值是　　．

15．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　．

16．（3分）如图，在矩形中，，分别为边，的中点，与、分别交于点，．已知，，则的长为　　．

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．

17．（6分）计算：．

18．（6分）如图，平分，．求证：．

19．（6分）化简：．

四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．

20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了辆该型号汽车耗油所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求的值，并补全频数分布直方图；

（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油所行使的路程低于的该型号汽车的辆数；

（3）从被抽取的耗油所行使路程在，这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．

21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．

（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？

（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？

五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的坐标为．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求的面积．

23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边，两点间的距离．在河的岸边与平行的直线上取两点，，测得，，，量得长为70米．求，两点间的距离（参考数据：，，．

六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．

24．（12分）如图，是的直径，点在上，的延长线与过点的切线交于点，为线段上的点，过点的弦于点．

（1）求证：；

（2）已知．，且，求的长．

25．（12分）如图，已知抛物线经过，，三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点的直线交轴于点，交线段于点，若．

①求直线的解析式；

②已知点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，点是该抛物线上位于第一象限的动点，且在右侧，点是直线上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求点的坐标．

2020年四川省泸州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．（3分）2的倒数是　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：2的倒数是．

故选：．

2．（3分）将867000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

3．（3分）如图所示的几何体的主视图是　　

A． B． C． D．

【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．

故选：．

4．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到的对应点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：将点先向右平移4个单位，

点的对应点的坐标是，即．

故选：．

5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；

．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；

．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；

．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：．

6．（3分）下列各式运算正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

．，故本选项不合题意；

．，故本选项符合题意．

故选：．

7．（3分）如图，中，，．则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

．

故选：．

8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：

那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是　　

A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4

【解答】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为；

学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；

故选：．

9．（3分）下列命题是假命题的是　　

A．平行四边形的对角线互相平分 

B．矩形的对角线互相垂直 

C．菱形的对角线互相垂直平分 

D．正方形的对角线互相垂直平分且相等

【解答】解：、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；

、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；

、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；

、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；

故选：．

10．（3分）已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：去分母，得：，

移项、合并，得：，

分式方程的解为非负数，

且，

解得：且，

正整数解有1，2，4，5共4个，

故选：．

11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：作于，如图，

，

，

在中，，

，是边的两个“黄金分割”点，

，

，

．

故选：．

12．（3分）已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为　　

A． B．2 C．3 D．4

【解答】解：由二次函数的图象与轴有公共点，

，即①，

由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，，

，即，②，

②代入①得，，即，因此，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．

13．（3分）函数的自变量的取值范围是　　．

【解答】解：根据题意得，，

解得．

故答案为：．

14．（3分）若与是同类项，则的值是　3　．

【解答】解：与是同类项，

，

解得，

故答案为：3．

15．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　2　．

【解答】解：根据题意得则，

所以，

故答案为2．

16．（3分）如图，在矩形中，，分别为边，的中点，与、分别交于点，．已知，，则的长为　　．

【解答】解：延长、交于，如图1，

四边形是矩形，，

，，，

为中点，

，

在中，由勾股定理得：，

，

，

为的中点，，

，

在和中

，

，

即，

，

，

，

，

，，

延长和，交于，如图2，

同理，，，

，

，

，

，

解得：，

，

故答案为：．

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．

17．（6分）计算：．

【解答】解：原式

．

18．（6分）如图，平分，．求证：．

【解答】证明：平分，

，

又，，

，

．

19．（6分）化简：．

【解答】解：原式．

四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．

20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了辆该型号汽车耗油所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求的值，并补全频数分布直方图；

（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油所行使的路程低于的该型号汽车的辆数；

（3）从被抽取的耗油所行使路程在，这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．

【解答】解：（1），即，

组的车辆为：（辆，

补全频数分布直方图如图：

（2）（辆，

即估计耗油所行使的路程低于的该型号汽车的辆数为150辆；

（3）设行使路程在范围内的2辆车记为为、，行使路程在范围内的2辆车记为、，

画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，

抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为．

21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．

（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？

（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？

【解答】解：（1）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，

根据题意得，

解得，

则，

答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；

（2）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，设购买两种奖品的总费用为元，

根据题意得，解得，

，

，

随的增大而减小，

时，有最小值为：．

答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．

五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的坐标为．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求的面积．

【解答】解：（1）如图，

点在反比例函数的图象上，

，

，

，

把代入一次函数中得：，

，

该一次函数的解析式为：；

（2）由得：，，

，

当时，，即，

的面积．

23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边，两点间的距离．在河的岸边与平行的直线上取两点，，测得，，，量得长为70米．求，两点间的距离（参考数据：，，．

【解答】解：过点、分别作，，垂足为、，

在中，，

，

在中，，，

，

，

，

在中，，

，

，

答：，两点间的距离为米，

六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．

24．（12分）如图，是的直径，点在上，的延长线与过点的切线交于点，为线段上的点，过点的弦于点．

（1）求证：；

（2）已知．，且，求的长．

【解答】（1）证明：连接，

是的直径，

，

，

是的切线，

，

，

，

，

；

（2）解：，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

连接，，

是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

．

25．（12分）如图，已知抛物线经过，，三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点的直线交轴于点，交线段于点，若．

①求直线的解析式；

②已知点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，点是该抛物线上位于第一象限的动点，且在右侧，点是直线上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求点的坐标．

【解答】解：（1）抛物线经过，，

设抛物线的解析式为，

将点坐标代入抛物线的解析式为中，得，

，

抛物线的解析式为；

（2）①如图1，

设直线的解析式为，

将点，，代入中，得，

，

直线的解析式为，

过点作轴于，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

将代入直线中，得，

，，

设直线的解析式为，

，

，

直线的解析式为；

②Ⅰ、当点在直线右侧时，

抛物线与轴的交点坐标为和，

抛物线的对称轴为直线，

点，

如图2，设点，，

过点作于，过点作于，

，，

，

，

，

是以点为直角顶点的等腰直角三角形，

，，

，

，

，

，，

，

由①知，直线的解析式为，

，

或（舍，

当时，，

，

Ⅱ、当点在直线左侧时，记作，

设点，，

过点作于，过点作于，

，，

同Ⅰ的方法得，△△，

，，

，，

由①知，直线的解析式为，

，

或（舍，

当时，，

，，

即满足条件的点的坐标为或，．