苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质优秀第三课时复习练习题

这是一份苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质优秀第三课时复习练习题，共16页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第2节 二次函数的图象和性质（等3课时）








一、单选题（共5小题）


1.二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（ ）


A．﹣4≤n＜5B．n≥﹣4C．﹣4≤n＜12D．5＜n＜12


【解答】解：∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，


∴m＝﹣4，


则方程x2+mx﹣n＝0，即x2﹣4x﹣n＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝n的交点的横坐标，


∵方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，


∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，


当x＝6时，y＝36﹣24＝12，


又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，


∴当﹣4≤n＜12时，在﹣1＜x＜6的范围内有解．


∴n的取值范围是﹣4≤n＜12，


故选：C．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质


2.如果A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是（ ）


A．y＝2xB．y＝﹣C．y＝﹣x2D．y＝x2


【解答】解：∵A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）这三个点都在同一个函数的图象上，


∴A、B关于y轴对称，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，


A、对于函数y＝2x，y随x的增大而增大，故不可能；


B、对于函数y＝﹣，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；


C、对于函数y＝﹣x2，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，故不可能；


D、对于函数y＝x2，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，故有可能；


故选：D．


【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征


3.已知y关于x的函数表达式是y＝ax2﹣4x﹣a，下列结论不正确的是（ ）


A．若a＝﹣1，函数的最大值是5


B．若a＝1，当x≥2时，y随x的增大而增大


C．无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）


D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点


【解答】解：∵y＝ax2﹣4x﹣a，


∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x﹣2）2+2，则当x＝2时，函数取得最大值，此时y＝2，故选项A符合题意；


当a＝﹣1时，该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，则当x≥2时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；


由y＝ax2﹣4x﹣a＝a（x2﹣1）﹣4x知，x2﹣1＝0时，x＝±1，则y＝±4，即无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，±4），故选项C不符合题意；


由于△＝16+4a2＞0，所以无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点，故选项D不符合题意；


故选：A．


【知识点】二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质


4.若关于x的二次函数y＝x2+x﹣a+与x轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（ ）


A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜2


【解答】解：由题意得，1﹣4×（﹣a+）＞0，


解得，a＞2，


故选：C．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系


5.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：


①abc＞0；


②2a+b＝0；


③3b﹣2c＜0；


④am2+bm≥a+b（m为实数）．


其中正确结论的个数是（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，


∴a、b异号，


∴ab＜0，


∵c＜0，


∴abc＞0，


故①正确；


②∵对称轴x＝﹣＝1，


∴2a+b＝0；


故②正确；


③∵2a+b＝0，


∴a＝﹣b，


∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，


∴﹣b﹣b+c＞0，


∴3b﹣2c＜0，


故③正确；


④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；


当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，


所以am2+bm≥a+b（m为实数）．


故④正确．


本题正确的结论有：①②③④，4个；


故选：D．


【知识点】二次函数图象与系数的关系








二、填空题（共7小题）


6.如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是 ．


【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，


∴a﹣1＜0，


解得：a＜1．


故答案为：a＜1．


【知识点】二次函数图象与系数的关系


7.若二次函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象在﹣2≤x≤5的部分与x轴有两个公共点，则a的取值范围是 ．


【解答】解：∵若二次函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象在﹣2≤x≤5的部分与x轴有两个公共点，


∴△＝4a2+4＞0，且，


由4a2+4＞0得a为一切实数，


解不等式组得，，


故答案为：．


【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点


8.将抛物线y＝2x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线的解析式为 ．


【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，


得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2+2．


故答案为y＝2（x+1）2+2．


【知识点】二次函数图象与几何变换


9.如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1 y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．


【解答】解：∵y＝x2+a，


∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，


∵﹣3＜﹣2＜0，


∴y1＞y2，


故答案为：＞．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征


10.已知抛物线y＝x2+（m+1）x﹣m﹣2（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，不论m取何正数，经过A、B、C三点的⊙P恒过y轴上的一个定点，则该定点的坐标是 ．


【解答】解：令y＝0，


∴x2+（m+1）x﹣m﹣2＝0，


∴（x﹣1）[x+（m+2）]＝0，


∴x＝1或x＝﹣（m+2），


∴A（1，0），B（﹣m﹣2，0），


∴OA＝1，OB＝m+2，


令x＝0，


∴y＝﹣m﹣2，


∴C（0，﹣m﹣2），


∴OC＝m+2，


如图，


∵点A，B，C在⊙P上，


∴∠OCB＝∠OAF，


在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝1，


在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝1，


∴OF＝1，


∴点F的坐标为（0，1）；


故答案为：（0，1）．





【知识点】二次函数的性质、点与圆的位置关系、三角形的外接圆与外心、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点


11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+3（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，将抛物线向下平移3个单位，若抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积为9，则a的值为 ﹣ ．





【解答】解：如图，抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于▱ABOC的面积，


∵平移过程中扫过的面积为9，


∴3•OA＝9，


解得OA＝3，


∴点A的坐标为（3，0），


代入得a•32+2×3+3＝0，


解得a＝﹣1．


故答案为：﹣1．





【知识点】二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征


12.如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为 ﹣ ．





【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），


∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，


∴点Q的坐标为（﹣2，0）．


故答案为：（﹣2，0）．


【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点








三、解答题（共7小题）


13.设二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时取得最大值10，并且它的图象在x轴上所截得的线段长为4，求a、b、c的值．


【解答】解：设抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，


∴x1+x2＝﹣，


x1•x2＝，


∴|x1﹣x2|＝＝＝4，①


而x＝3时取得最大值10，


∴﹣＝3，②


＝10，③


联立①②③解之得：


a＝﹣，b＝15，c＝﹣．


【知识点】二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数的最值


14.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：


（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；


（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．


【解答】解：（1）由表格可知，


该函数有最小值，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，


即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m的值是3；


（2）由题意可得，


点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），


设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，


，得，


所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，


当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，


则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），


故△ABC的面积是：＝3．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质


15.如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．


（1）求抛物线L的函数表达式；


（2）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．





【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA，


∴OA＝1，


∴OB＝OC＝3，


∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），


∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，


∴，得，


即抛物线L的函数表达式是y＝x2﹣2x﹣3；


（2）抛物线L上存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN，


∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），


∴AB＝4，OC＝3，


∴S△ABC＝＝6，


∵S△ABC＝2S△OCN，


∴S△OCN＝3，


设点N的横坐标的为n，


则＝3，得|n|＝2，


∴n＝±2，


当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，


当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5，


∴点N的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，5）．


【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点


16.如图，△AOB是等边三角形，且点O、A的坐标分别为（0，0）、（2，0）．若某抛物线经过△AOB的三个顶点，求该抛物线的解析式．





【解答】解：∵点O、A的坐标分别为（0，0）、（2，0）．


∴OA＝2，


作BC⊥OA于C，


∵△AOB是等边三角形，


∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，OC＝AC＝1，


∴BC＝OB＝，


∴点．


设该抛物线的解析为，


代入O（0，0），得：，解得：，


故该抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+3．





【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质


17.已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．


（1）求证：无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；


（2）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；


（3）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．


【解答】解：（1）∵△＝（k﹣5）2 ﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12＞0，


∴无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；


（2）∵y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，


又a＝1＞0，△＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝（k﹣3）2+12，


∴抛物线与x轴有两个交点，


设抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，


∴x1+x2＝5﹣k＞0，x1x2＝1﹣k≥0，


解得k≤1，


∴k的取值范围为k≤1；


（3）依题意，得：x2+（k﹣5）x+1﹣k＝x，


∴x2+（k﹣6）x+1﹣k＝0，


∵△＝（k﹣4）2+16＞0，


∴k为任意实数，


又x1+x2＝6﹣k，x1x2＝1﹣k，


∵（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，


∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＜0，


∴1﹣k﹣2（6﹣k）+4＜0，


∴k＜7，


∴综上，k的最大整数值为6．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系


18.画出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象（要求列表，描点），回答下列问题：


（1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；


（2）当y随x的增大而增大时，写出x的取值范围；


（3）若抛物线与x轴的左交点（x1，0）满足n≤x1≤n+1，（n为整数），试写出n的值．


【解答】解：列表：





描点、连线





（1）由图象可知，


该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，5）；


（2）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1；


（3）当y＝0时，


0＝﹣（x﹣1）2+5，


解得，，，


则该抛物线与x轴的左交点为（+1，0），


∵﹣3＜+1＜﹣2，n≤x1≤n+1，（n为整数），


∴n＝﹣3．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质


19.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．


（1）请直接写出两个为“同簇二次函数”的函数：① ，② ；


（2）已知关于x的二次函数y1＝2（x﹣1）2+1和y2＝ax2+bx+5，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最小值．


【解答】解：（1）“两个为“同簇二次函数”的函数．①y＝x2，②y＝3x2．


故答案为y＝x2，y＝3x2．


（2）∵y1＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3


则y1+y2＝（a+2）x2+（b﹣4）x+8．


∵二次函数y1＝2（x﹣1）2+1的顶点为（1，1），


∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，


∴y1+y2＝（a+2）x2+（b﹣4）x+8的顶点坐标为（1，1）．


∴，


解之，得：．


∴y2＝5x2﹣10x+5．


∵0≤x≤3，


∴当x＝1时，y2最小值＝5×12﹣10×1+5＝0．


【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式


x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
…