2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第八章第二节第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第二节　圆与方程第1课时　系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：半径：r＝2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内 [提醒]　不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]　　1.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝10 2.经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝13.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝24.已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是________．答案：5．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是________．答案：(－，)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．答案：x2＋y2－2x＝0 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d) 2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.(3)切线长①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝.[提醒]　过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.[谨记常用结论]过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λAx＋By＋C＝0.,　1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，－1]　　　　　 　B．[－1,3]C．[－3,1]   D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　)A．相切   B．相交C．相离   D．随a的变化而变化解析：选B　∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2.答案：2 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2| [提醒]　涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：1将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；2两圆圆心的连线垂直平分公共弦；3x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C2.　1.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：22.若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±2或03.圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝，所以r＝.答案：4.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)A．21   B．19C．9   D．－11解析：选C　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(　　)A．1条   B．2条C．3条   D．4条解析：选A　两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.