2019版高考数学（理）创新大一轮北师大通用版讲义：专题探究课四


高考导航　1.立体几何是高考考查的重要内容，每年的高考试题中基本上都是“一大一小”两题，即一个解答题，一个选择题或填空题，题目难度中等偏下；2.高考试题中的选择题或填空题主要考查学生的空间想象能力及计算能力，解答题则主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力，热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等；3.解决立体几何问题要用的数学思想方法主要有：(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题)；(2)数形结合(根据空间位置关系利用向量转化为代数运算).

热点一　空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(教材VS高考)
空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.
【例1】 (满分12分)(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.

(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.
教材探源　本题源于教材选修2－1P109例4，在例4的基础上进行了改造，删去了例4的第(2)问，引入线面角的求解.
满分解答　(1)证明　取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，
EF＝AD，1分(得分点1)
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，
又BC＝AD，所以EF綊BC，
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，
3分(得分点2)
又BF平面PAB，CE平面PAB，
故CE∥平面PAB.4分(得分点3)
(2)解　由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，
＝(1，0，－)，＝(1，0，0).
设M(x，y，z)(00).现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B(该点记为P)，如图2所示.

(1)若λ＝2，求证：GR⊥平面PEF；
(2)是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
(1)证明　由题意，可知PE，PF，PD三条直线两两垂直.
∴PD⊥平面PEF.
在图1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为BD的中点，
则EF∥AC，GD＝GB＝2GH.
在图2中，∵＝＝2，且＝2，
∴在△PDH中，GR∥PD.
∴GR⊥平面PEF.
(2)解　存在.由题意，分别以PF，PE，PD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz.

设PD＝4，则P(0，0，0)，F(2，0，0)，E(0，2，0)，D(0，0，4)，∴H(1，1，0).
∵＝＝λ，
∴＝，∴R.
∴＝＝.
＝(2，－2，0)，＝(0，2，－4)，
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，
由得取z＝1，则m＝(2，2，1).
∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，
∴|cos〈m，〉|＝
＝＝＝，
∴9λ2＋18λ－7＝0，解得λ＝或λ＝－(不合题意，舍去).
故存在正实数λ＝，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为.