2020版江苏高考数学一轮复习学案：第47课《椭圆的几何性质》(含解析)

第47课　椭圆的几何性质

1. 熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题.

2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.

1. 阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容).

2. 解悟：①椭圆中的基本量a，b，c满足关系a2＝b2＋c2，在图形中分别对应着什么？有怎样的几何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与之间满足一个什么关系？求离心率关键要寻找何种等式？③a－c，a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？

3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务).

　基础诊断　

1. 若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝　　.

解析：因为焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，所以＝，得m＝.

2. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为　＋＝1　.

解析：由题意知e＝，2a＝12，所以a＝6，c＝3，所以b＝3，所以椭圆方程为＋＝1.

3. 若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是　　.

解析：由题意知2b＝2，2a＝4b，所以b＝1，a＝2，所以c＝＝，则椭圆的中心到其准线的距离是＝＝.

4. 过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为其右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为　　Ｗ.

解析：由题意知点P的坐标为或，因为∠F1PF2＝60°，所以＝，即2ac＝b2＝(a2－c2)，所以e2＋2e－＝0，所以e＝或e＝－(舍).

　范例导航　

考向❶  通过几何性质探求椭圆基本量

例1　设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，求实数m的取值范围.

　　解析：若椭圆的焦点在x轴上，则有a2＝3，b2＝m(0＜m＜3)，当点M为椭圆短轴的端点时，此时∠AMB最大，根据椭圆的对称性，只需满足tan∠AMO＝≥tan60°＝(其中O为坐标原点)，即≥，得0＜m≤1；若椭圆的焦点在y轴上，则有a2＝m(m＞3)，b2＝3，同理可得m≥9.故m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).

如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为，则该椭圆的标准方程为　＋y2＝1　Ｗ. 

　　解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由＝2，得DF1＝＝c，所以S△DF1F2＝DF1·F1F2＝c2＝，故c＝1，所以DF1＝.由DF1⊥F1F2，得DF＝DF＋F1F＝，因此DF2＝，所以2a＝DF1＋DF2＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1，因此所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

考向❷  求椭圆离心率

例2　如图，＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

(1) 若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程；

(2) 若PF1＝PQ，求椭圆的离心率e.

解析：(1) 由题意得2a＝PF1＋PF2＝(2＋)＋(2－)＝4，所以a＝2.

设椭圆的半焦距为c，由已知PQ⊥PF1，

所以2c＝＝＝2，所以c＝，所以b＝＝1，

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2) 方法一：连结F1Q，

设椭圆上点P(x0，y0)，PF1⊥PF2，

所以有

解方程组，得x0＝±，y0＝±，

由PF1＝PQ>PF2， 得x0>0，从而

PF＝＋＝(a＋)2.

由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a，QF1＋QF2＝2a，

由PF1＝PQ＝PF2＋QF2，

得QF1＝4a－2PF1.

又PF1⊥PQ，PF1＝PQ，所以QF1＝PF1，

所以(2＋)PF1＝4a，

所以(2＋)(a＋)＝4a，

所以(2＋)(1＋)＝4，

解得e＝－. 

方法二： 由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a，QF1＋QF2＝2a，

由PF1＝PQ＝PF2＋QF2，得QF1＝4a－2PF1.

又PF1⊥PQ，PF1＝PQ，所以QF1＝PF1，

所以PF1＝4a－2PF1，所以PF1＝2(2－)a，

从而PF2＝2a－PF1＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.

由PF1⊥PF2，知PF＋PF＝F1F＝(2c)2，

所以e＝＝＝＝＝－.

已知直线l经过椭圆短轴的一个端点和一个焦点. 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为　　Ｗ.

解析：根据题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，设直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则直线的方程为＋＝1.若椭圆中心即(0，0)到直线l的距离为其短轴长的，则有＝，得b2＝15c2，则a2＝b2＋c2＝16c2，即a＝4c，所以椭圆的离心率为.

考向❸  椭圆离心率的取值范围问题

例3　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1) 求椭圆离心率的取值范围；

(2) 求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

解析：(1) 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， PF1＝m，PF2＝n. 

在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝m2＋n2－2mncos60°.

因为m＋n＝2a，

所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，

所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.

又mn≤＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，

所以4a2－4c2≤3a2，所以≥，即e≥，

所以e的取值范围是. 

(2) 由(1)知3mn＝4(a2－c2)＝4b2，则mn＝b2，

所以S△PF1F2＝mnsin60°＝b2，

所以△PF1F2的面积只与短轴长有关.

如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设＝λ.

(1)  若点P(－3，0)，Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；

(2)  若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围.

解析：(1)  由点P在圆O：x2＋y2＝b2上得b＝3，

点Q在椭圆C上得＋＝1，

解得a2＝18，所以椭圆C的方程是＋＝1.

(2)  联立解得x＝0或xP＝－.

联立解得x＝0或xQ＝－.

因为＝λ，λ＝3，所以＝，

所以·＝，

即·＝，

所以k2＝＝4e2－1.

因为k2>0，所以4e2>1，即e>.

又0<e<1，所以<e<1.

　自测反馈　

1. 设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是　6　.

解析：设椭圆上的点Q坐标为(x，y)，圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为M，则点M坐标为(0，6)，半径r＝.要求PQ的最大值，即求MQ＋r的最大值，即求MQ的最大值.因为MQ＝＝＝≤5，所以PQ≤5＋＝6，即P，Q两点间的最大距为6.

2. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率是　　Ｗ.

解析：如图，BF＝＝a，过点D作DD1⊥y轴于点D1，则由＝2得＝，所以DD1＝OF＝c，即D的横坐标为.由椭圆的第二定义得FD＝e＝a－.又因为＝2得a＝2a－，化简得a2＝3c2，所以椭圆的离心率e＝＝.

3. 已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB＝3，则椭圆C的方程为　＋＝1　.

解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为c＝＝1，所以a2－b2＝1①.因为直线AB经过右焦点F2且垂直于x轴，所以A，B，代入椭圆方程得＋＝1②.联立①②解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.

4. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是　(－1，1)　Ｗ.

解析：设点P(x，y).因为PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，所以PQ＝＋x＝a＋c，可得x＝a＋c－.因为椭圆上点P的横坐标满足x∈[－a，a]，且P，Q，F，A不在一条直线上，所以－a<x<a，即－a<a＋c－<a，即2a＋c－>0且c－<0，化简得2＋e－>0，即e2＋2e－1>0，解得e<－1－或e>－1.因为椭圆的离心率e∈(0，1)，所以椭圆的离心率e的取值范围是(－1，1).

1. 求椭圆的离心率及离心率的取值范围，其实质是去寻找含a，b，c的齐次等式或齐次不等式.

2. 在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义，有时还会结合正(余)弦定理解决问题.

3. 你还有哪些体悟，写下来：