初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线3 平行线的性质教案

这是一份初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线3 平行线的性质教案，共24页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第10讲


讲














平行线的性质与画角


























概述








【教学建议】


本节的教学重点是利用平行线的性质进行计算，要让学生注意图形中各种角的位置和数量关系，运用正确的方法进行求解；然后要让学生掌握平行线的性质和判定的综合问题，注意思维方式的培养；最后的尺规作图问题要强调圆规的作用，让学生掌握如何做等角或二倍角或差角。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1.平行线的性质；


2.平行线的性质判定的综合应用；


3.尺规作图。








【知识导图】











教学过程








一、导入





【教学建议】


有关平行线性质的问题，要让学生能够与平行线的判断区分开，在题目中合理利用性质或者判断进行解题，要形成比较完善的逻辑思维，能够自主思考解决相关的几何问题。


尺规作图问题结合之前所学尺规作线段问题，让学生充分意识到圆规的作用，可以利用尺规作出已知角、二倍角或者差角、和角，更进一步可以利用尺规作图作已知直线的平行线。





二、知识讲解








知识点1 平行线的性质





1.两直线平行，同位角相等；


2.两直线平行，内错角相等；


3.两直线平行，同旁内角互补。





知识点2 尺规作图





1.尺规作一个角等于已知角；


2.尺规做一条直线平行于已知直线。





三、例题精析








例题1





【题干】如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（ ）





A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°


【答案】A


【解析】根据两直线平行同旁内角互补可得，∠2=30°，故选A.





例题2





【题干】如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）





A.由a∥b能得到∠2=∠5 B.由c∥d能得到∠3=∠1


C.由c∥d能得到∠3=∠4 D.由a∥b能得到∠1=∠5


【答案】C


【解析】由c∥d不能得到∠3=∠4，故选C





例题3





【题干】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=75°，那么∠4的度数是（ ）





A.75° B.45° C.105° D.135°


【答案】C


【解析】解：由∠1+∠2=180°可得两直线平行，故∠4=180-75°=105°，故选C。





例题4





【题干】如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E．试说明AD∥BC．


完成推理过程：





∵AB∥DC（已知）


∴∠1=∠CFE（ ）


∵AE平分∠BAD（已知）


∴∠1=∠2 （角平分线的定义）


∵∠CFE=∠E（已知）


∴∠2= （等量代换）


∴AD∥BC （ ）


【答案】见解析。


【解析】证明：∵AB∥DC（已知）


∴∠1=∠CFE（两直线平行，同位角相等）


∵AE平分∠BAD（已知）


∴∠1=∠2（角平分线的定义）


∵∠CFE=∠E（已知）


∴∠2=∠E（等量代换）


∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．





例题5





【题干】尺规作图：:已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′=∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法）





【答案】画图见解析，步骤见解析.


【解析】作法：


步骤一：以点O为圆心，以任意长度为半径画弧，交OA于点F，交OB于点E；


步骤二：画射线O′B′；


步骤三：以点O′为圆心，以OE为半径画弧，交O′B′于点E′．


步骤四：以点E′为圆心，以EF为半径画弧，与已知画的弧交点与点F′．


步骤五：连接O′F′得射线O′A′．


如图：





∠A′O′B′即为所求角。





四 、课堂运用





【教学建议】


在学习过程中要注意培养学生的逻辑思维能力，使他们形成良好的解题习惯和做题方法，遇到问题能够独立进行思考，能够充分发挥所学知识；并要锻炼学生的动手能力，增强学生的学习兴趣和学习信心。





基础





1. 如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）





A．120°B．130°C．140°D．150°


【答案】B


【解析】根据平行线性质进行计算。


2. 如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，若∠1=60°，则∠2的度数是（ ）





35° B. 30° C. 25° D. 20°


【答案】B


【解析】由平行线性质进行计算。


3. 下列关于尺规的功能说法不正确的是（ ）


A．直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长


B．直尺的功能是：可作平角和直角


C．圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆


D．圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧


【答案】B


【解析】解：A、直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长．正确．


B、直尺的功能是：可作平角和直角．错误．


C、圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆．正确．


D、圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧．正确．


故选B


4.完成下列推理说明：如图，已知AB∥DE，且有∠1＝∠2，∠3＝∠4，





∵AB∥DE( )


∴∠1＝ (根据两直线平行，同位角相等)


∵∠1＝ ， ∠3＝∠4(已知)


∴∠2＝ (等量代换)


∴BC∥EF(根据___________________________)


【答案】见解析。


【解析】∵AB∥DE( 已知 )


∴∠1＝ ∠3 (根据两直线平行，同位角相等)


∵∠1＝ ∠2 ， ∠3＝∠4(已知)


∴∠2＝ ∠4 (等量代换)


∴BC∥EF( 同位角相等，两直线平行 )





巩固





1. 如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度．





【答案】80


【解析】解：∵AB∥CD，∠1=45°，


∴∠C=∠1=45°，


∵∠2=35°，


∴∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，


故答案为：80．


2. 根据如图所示的图形填空：


（1）因为EF∥AB，所以 （两直线平行，同位角相等）；


（2）因为DE∥CB，所以 （两直线平行，内错角相等）；


（3）因为 ，所以∠A+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）．





【答案】CEF=∠CAB（∠CFE=∠CBA）；∠DEF=∠EFC；EF∥AB


【解析】解：（1）∵EF∥AB，


∴CEF=∠CAB（∠CFE=∠CBA）（两直线平行，同位角相等）；


（2）∵DE∥CB，


∴∠DEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）；


（3）∵∠A+∠AEF=180°，


∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）．


故答案为：CEF=∠CAB（∠CFE=∠CBA），∠DEF=∠EFC，EF∥AB





3. 如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=100°，则∠4= 时，AB∥EF．





【答案】当∠4=100°时，AB∥EF


【解析】解：∵∠3=100°，∠4=100°，


∴DC∥EF，


∵∠1=120°，


∴∠5=60°，


∵∠2=60°，


∴AB∥CD，


∴AB∥EF．





4. 如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．





【答案】∠AED=∠ACB


【解析】解：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．


∴∠2=∠4．


∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．


∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．


∵∠3=∠B（已知），


∴∠B=∠ADE（等量代换）．


∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．


∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．





拔高





1. 如图所示，如果AB∥CD，那么（ ）





A．∠1=∠4，∠2=∠5 B．∠2=∠3，∠4=∠5


C．∠1=∠4，∠5=∠7 D．∠2=∠3，∠6=∠8


【答案】D.


【解析】解：A、∠1与∠4不是由两平行线形成的内错角，∠2与∠5不是三线八角中的角，故错误；


B、∵AB∥CD，∴∠2=∠3，∵∠4与∠5不是三线八角中的角，故错误；


C、∠1与∠4，∠5与∠7不是由两平行线形成的内错角，故错误；


D、∵AB∥CD，∴∠2=∠3，∠6=∠8（两直线平行，内错角相等），故正确．


故选D．


2. 如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（ ）


（1）FG∥DC；（2）∠AED=∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B=90°；（5）∠BFG=∠BDC．





A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


【答案】C


【解析】解：∵DE∥BC，


∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，（2）正确；


∵∠1=∠2，


∴∠2=∠DCB，


∴FG∥DC，（1）正确；


∴∠BFG=∠BDC，


（5）正确；


正确的个数有3个，故选：C．


3. 如图所示，AB∥CD，∠CFE的平分线与∠EGB平分线的反向延长线交于点P，若∠E=20°，则∠FPH的度数为多少？





【答案】100°，见解析。


【解析】解：作PM∥CD，如图，


∵AB∥CD，


∴AB∥PM∥CD，


∴∠4=∠2，∠3=∠1，


∴∠FPH=∠1+∠2，


∵∠CFE的平分线与∠EGB的平分线的反向延长线交于点P，


∴∠CFQ=2∠1，∠EGB=2∠BGH，


∵∠BGH=∠2，


∴∠FPH=（∠CFQ+∠EGB），


∵∠EGB=∠E+∠EQG，


∵∠EQG=180°﹣∠EQA，


∵CD∥AB，


∴∠CFQ=∠EQA，


∴∠EGB=∠E+180°﹣∠CFQ，


∴∠FPH=（∠CFQ+∠E+180°﹣∠CFQ）


=（20°+180°）


=100°．











课堂小结





平行线的性质：两直线平行同位角相等；


两直线平行内错角相等；


两直线平行同旁内角互补


2.尺规作图。








扩展延伸








基础





1. 下列属于尺规作图的是（ ）


A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个300°的角


C．用圆规画半径2cm的圆 D．作一条线段等于已知线段


【答案】D


【解析】解：A、用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；


B、量角器不在尺规作图的工具里，错误；


C、画半径2cm的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；


D、正确．


故选：D．


2. 如图，AB∥CD，DE∥BC，若∠1=120°，则∠2= 。





【答案】60°


【解析】解：∵DE∥BC，


∴∠BCD=∠1=120°，


∵AB∥CD，


∴∠BCD+∠2=180°，


∴∠2=60°．


故答案为：60°．


3. 如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α= 。





【答案】AB∥DE


【解析】解：如图1，，


∵∠1+56°=120°，


∴∠1=120°﹣56°=64°，


又∵直线l1∥l2，


∴∠α=∠1=64°．


故答案为：64°．





4. 如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD．














【答案】∠AGD=110°，见解析。


【解析】解：∵EF∥AD（已知）


∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）；


∵∠1=∠2（已知），


∴∠1=∠3（等量代换）；


∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．


∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．


∵∠BAC=70°，


∴∠AGD=110°．





巩固





1. 下列语句是有关几何作图的叙述．


①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有 ．（填序号即可）


【答案】③⑤


【解析】解：①以O为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；


②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；


③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；


④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；


⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确．


所以正确的有③⑤．


故答案为：③⑤．


2. 如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）





A．132° B．134° C．136°D．138°


【答案】B


【解析】解：过E作EF∥AB，


∵AB∥CD，


∴AB∥CD∥EF，


∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，


∵∠C=44°，∠AEC为直角，


∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，


∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，


故选B．





3如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并请你从四个图形中任选一个说明你所探究的结论的正确性．








【答案】图一：∠APC+∠PAB+PCD=360°；图二：∠APC=∠PAB+∠PCD；


图三：∠APC=∠PCD﹣∠PAB ； 图四：∠APC=∠PAB﹣∠PCD。


【解析】解：以图（1）为例说明理由：


如图，过点P做PM∥AB，





∵AB∥CD，


∴PM∥CD，


∴∠APM+∠A=180°，∠CPM+∠C=180°，


两式相加得∠A+∠C+∠APM+∠CPM=360°，


即∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．


4如图，已知∠AOB＝α，以P为顶点，PC为一边作∠CPD＝α，并用移动三角尺的方法验证PC与OB，PD与OA是否平行。





【答案】见解析。


【解析】用三角尺平移可以验证得PC∥OB，但PD与OA不一定平行，∠CPD=∠AOB= ∠α，有两解，如图:








拔高





1. 如图，小强发现地图上的A，B，C三个城市中的C城市被墨汁污染了，但知道∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，请你用尺规作图帮他在地图上确定C城市的具体位置。（不用写作法，只需保留作图痕迹）





【答案】见解析


【解析】如图所示：





2. 已知AD⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为点D，G，∠E=∠AFE，试说明AD平分∠BAC，（写出证明过程，并注明依据）．





【答案】见解析


【解析】解：∵AD⊥BC，EG⊥BC


∴AD∥EG（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）


∴∠DAC=∠E（两直线平行，同位角相等）


∠DAF=∠AFE（两直线平行，内错角相等）


∵∠E=∠AFE（已知）


∴∠DAF=∠DAC（等量代换）


即AD平分∠BAC．


3. 探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．


发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；





小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB


∴∠APQ=∠A（ ）


∵PQ∥AB，AB∥CD．


∴PQ∥CD（ ）


∴∠CPQ=∠C


∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C


即∠APC=∠A+∠C


小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．


∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C


∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C


即∠APC=∠A+∠C


请在上面证明过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 ．


应用：


在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 ；


在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 ；


拓展：


在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．


【答案】两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；


小明的证法；100°；40°；∠APC=∠A﹣∠C


【解析】解：过P作PE∥AB即可得。





4.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．





（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；


（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；


（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．


【答案】(1)∠ABC，∠BAM；理由见解析.(2)不变，；（3）不存在.


【解析】解：（1）∵OM∥CN，


∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°，∠ABC=180°-∠OAB=180°-108°=72°，


又∵∠BAM=∠180°-∠OAB=180°-108°=72°，


∴与∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM；


（2）∵OM∥CN， ∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，


∵OB平分∠AOF， ∴∠AOF=2∠AOB，


∴∠OFC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=；


（3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x，


在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x，


在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x，


∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，


∴∠COE+∠AOB=∠COF+∠AOF=∠AOC=×72°=36°，∴72°-x+72°-2x=36°，


解得x=36°，即∠OBA=36°，


此时，∠OEC=2×36°=72°，∠COE=72°-2×36°=0°，


点C、E重合，所以，不存在．








教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、平行线的性质


2、平行线的性质与判定综合


3、尺规作图


4、用尺规作一个角等于已知角


5、作已知角的和差及倍数


6、尺规作图的应用
教学目标
1、理解平行线的性质的推导，掌握平行线的性质.


2、初步感受原命题与逆命题，从而了解平行线的性质公理与判定公理的区别，能在推理过程正确使用.


3、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.
教学重点
1、平行线的性质以及应用.


2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.
教学难点
1、平行线的性质公理与判定公理的区别.


2、作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用.