2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第九章　第3讲　圆的方程

第3讲　圆的方程

一、知识梳理

1．圆的方程

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

常用结论

1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

2．二元二次方程表示圆的条件

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件．

二、习题改编

1．(必修2P123练习T2改编)圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标        ，半径        ．

答案：(1，－2)　

2．(必修2P120练习T1(2)改编)若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为        ．

答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝18

3．(必修2P124A组T2(2)改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为        ．

答案：x2＋y2－2x＝0

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)

(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)

(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)

(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、易错纠偏

(1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2－4F>0；

(2)错用点与圆的位置关系判定．

1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)

A.<m<1　　　　　　 B．m<或m>1

C．m<  D．m>1

解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.

2．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是        ．

解析：因为点(1，1)在圆的内部，

所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，

所以－1<a<1.

答案：(－1，1)

　　　　　　求圆的方程(师生共研)

(1)圆心在x轴上，半径长为2，且过点A(2，1)的圆的方程是(　　)

A．(x－2－)2＋y2＝4　　 B．(x－2＋)2＋y2＝4

C．(x－2±)2＋y2＝4  D．(x－2)2＋(y－1)2＝4

(2)(一题多解)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为        ．

【解析】　(1)根据题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为圆过点A(2，1)，所以(2－a)2＋12＝4，解得a＝2±，所以所求圆的方程为(x－2±)2＋y2＝4.

(2)法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．

又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，

即

＝，解得a＝－2，

所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意得解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心坐标为，

由题意得解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

【答案】　(1)C　(2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0

求圆的方程的两种方法

(1)直接法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

1．(2020·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆方程是        ．

解析：设三角形OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上可得解得故三角形的外接圆方程为x2＋y2－6x－2y＝0.

答案：x2＋y2－6x－2y＝0

2．若圆C经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是        ．

解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，设圆心为(2，m)，又因为圆与直线y＝1相切，

所以＝|1－m|，解得m＝－，

所以圆C的方程为(x－2)2＋＝.

答案：(x－2)2＋＝

　　　　　　与圆有关的最值问题(多维探究)

角度一　借助几何性质求最值

已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

【解】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．

所以的最大值为，最小值为－.

(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．

又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.

与圆有关的最值问题的三种几何转化法

(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．

(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

角度二　建立函数关系求最值

设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为        ．

【解析】　由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10.

【答案】　10

建立函数关系式求最值

根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．

1．(2020·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为        ．

解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.

答案：12

2．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为        ．

解析：函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆(包括与x轴的交点)．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．

由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.

答案：－2

　　　　　　与圆有关的轨迹问题(师生共研)

已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

【解】　(1)设AP的中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

与圆有关的轨迹问题的四种求法

　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

解：(1)法一：设C(x，y)，

因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.

因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，

又kAC＝，kBC＝，

所以·＝－1，

化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．

所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．

(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，

所以x0＝2x－3，y0＝2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，

将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，

即(x－2)2＋y2＝1.

因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

[基础题组练]

1．已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝4  B．(x－2)2＋(y－1)2＝4

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16  D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16

解析：选C.根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.

2．(2020·河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)

A．x2－y2－2x－3＝0  B．x2＋y2＋4x＝0

C．x2＋y2－4x＝0  D．x2＋y2＋2x－3＝0

解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选C.

3．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)

A．一个圆  B．两个圆

C．半个圆  D．两个半圆

解析：选D.由题意得

即或

故原方程表示两个半圆．

4．(2020·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)

A．1＋  B．2 

C．1＋  D．2＋2

解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.

5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1  B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4  D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析：选A.设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是        ，半径是        ．

解析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，

解得a＝2或a＝－1.

当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．

当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，

表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．

答案：(－2，－4)　5

7．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为        ．

解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解得所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.

答案：(x＋1)2＋y2＝20

8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是        ．

解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1，0)，由点A，C关于x＋y－1＝0对称得

解得又因为圆的半径是1，

所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，

即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.

答案：x2＋y2－2x－4y＋4＝0

9．求适合下列条件的圆的方程．

(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；

(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．

解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有

解得a＝1，b＝－4，r＝2.

所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

所以半径r＝＝2，

所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

则

解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.

所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.

10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．

则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，

则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①

又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，

所以(a＋1)2＋b2＝40.②

由①②解得或

所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．

所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

[综合题组练]

1．(应用型)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为        ．

解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．

因为△OPQ为直角三角形，

所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，

因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5

2．已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是        ．

解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故

解得故A′(－4，－2)．

连接A′C交圆C于Q，由对称性可知

|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.

答案：2

3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

4．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则＝2，

解得a＝2或a＝，

所以点P的坐标为(2，4)或.

(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，

整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，

即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.

由解得或

所以该圆必经过定点(0，4)和.