（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（29）第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积（含解析）

 [练案29]第三讲　平面向量的数量积A组基础巩固一、单选题1．(2020·江西名校高三质检)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝(　C　)A．1　 B．2　C．3　 D．4[解析]　由题意可得a·b＝|a|·|b|·cos a，b＝2××cos 30°＝3，故选C.2．(2020·安徽六校联考)向量a＝(2,4)，b＝(5,3)，则a·(a－b)＝(　D　)A．－10　 B．14　C．－6　 D．－2[解析]　∵a－b＝(－3,1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故选D.3．(2020·郑州一中高三入学测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　C　)A．　 B．　C．　 D．4[解析]　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.4．(2020·安徽十校高三摸底考试)在△ABC中，＝，且||＝2，||＝8，∠ACB＝，则·＝(　A　)A．24　 B．12　C．24　 D．12[解析]　设||＝x，∵2＝＋，两边平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴·＝(＋)·＝(2＋·)＝×(64－16)＝24.故选A.5．(2020·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　解法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因为a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝.因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cos θ，所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为.解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1,0)，b＝(0,1)，则b－a＝(－1,1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为.6．(2020·河北省武邑模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则在方向上的投影等于(　C　)A．－　 B．　C．　 D．3[解析]　因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示，所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.因为||＝||＝||，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，||＝||sin 60°＝，所以在方向上的投影为||cos ∠ABC＝||cos 30°＝×＝.二、多选题7．(2020·上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(　CD　)A．a＋b　　 B．a＋bC．a－b　　 D．a－b[解析]　∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．又|a－b|2＝(4a2－4a·b＋b2)＝1，故选C、D.[优解]　如右图，令＝a，＝b，∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴||＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是单位向量.a－b＝(a－b)＝，又∵(||)＝，故选C、D.8．(2020·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是(　BC　)A．(－∞，－)　　 B．(－，2)C．(2，＋∞)　　 D．(－2，)[解析]　∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是(－，2)∪(2，＋∞)．故选B、C.三、填空题9．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos a，b＝　－　.[解析]　cos a，b＝＝＝－.10．(2020·湖北省部分重点中学高三起点考试)已知向量a＝(3,4)，b＝(x,1)，若(a－b)⊥a，则实数x等于__7__.[解析]　∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，即a2＝a·b,25＝3x＋4，解得x＝7.11．(2020·皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为__－1__.[解析]　∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36，|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16.∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影为|b|·cos a，b＝|b|·＝＝＝－1.12．(2020·武汉市部分学校高三调研测试)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝__2__.[解析]　由已知可得a·b＝1××＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.四、解答题13．(2020·贵阳质检)已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．[解析]　由已知得，a·b＝4×8×(－)＝－16.(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4.②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝16.(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．14．(2020·湖北宜昌高三适应性训练)在△ABC中，AB＝3AC＝9，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，求·的值．[解析]　由·＝2，得·＝0，所以⊥，即∠C＝，则BC＝＝6.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,6)，设P(x，y)，则2＋2＋2＝(x－3)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2　＝3x2－6x＋3y2－12y＋81＝3[(x－1)2＋(y－2)2＋18]，所以当x＝1，y＝2时取得最小值，此时P(1,2)，则·＝(2，－2)·(0，－6)＝24.B组能力提升1．(2020·广东百校联考)若向量a，b满足|a|＝，b＝(－2,1)，a·b＝5，则a与b的夹角为(　C　)A．90°　 B．60°　C．45°　 D．30°[解析]　∵b＝(－2,1)，∴|b|＝＝，∵|a|＝，a·b＝5，∴cos a，b＝＝＝.又a，b∈[0，π]，∴a与b的夹角为45°.故选C.2．(2020·河南中原名校指导卷)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，c＝2a－b，则向量c在向量a方向上的投影为(　B　)A．　 B．　C．2　 D．3[解析]　∵a＝(－1,2)，b＝(1,3)，∴|a|＝，c＝2a－b＝(－3,1)，∴a·c＝5，∴向量c在向量a方向上的投影为＝.故选B.3．(2020·辽宁葫芦岛六中月考)已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝(　B　)A．2　 B．3　C．4　 D．5[解析]　∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故选B.4．(2020·浙江省杭州市富阳区新登中学高三上学期期末模拟数学试题)设单位向量e1，e2对任意实数λ，都有|e1＋e2|≤|e1＋λe2|，则e1，e2的夹角为(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　设e1与e2的夹角为θ，θ∈[0，π]，|e1＋e2|≤|e1＋λe2|两边平方得，1＋cos θ＋≤λ2＋2λcos θ＋1化角为λ2＋2λcos θ－cos θ－≥0，由于对任意实数λ都成立，所以Δ≤0，即(2cos θ)2＋4cos θ＋3≤0也就是(2cos θ＋)2≤0，∴cos θ＝－，θ＝，故选D.5．(2020·贵阳质检)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．[解析]　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，所以S△ABC＝||||·sin ∠ABC＝×4×3×＝3.