2020届二轮复习整数（整除）性问题学案（全国通用）

                              专题13  整数（整除）性问题解决整数（整除）性问题，一般将所求参数求出，尽量出现分式、根式等形式，再根据整数性质加以研究、求解. 类型一  根式型典例1. 已知数列是等差数列，，数列是等比数列，．① 若．求数列和的通项公式；② 若是正整数且成等比数列，求的最大值．【答案】（1），（2）【解析】解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以．（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，.因为成等比数列，所以．设，，，则，整理得，.解得（舍去负根）.，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，，当且仅当且时，及取最大值.从而最大的， 所以，最大的     类型二 分式型典例2已知，问是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由？【答案】，n＝16，【解析】解：∴ ∴，∵成等比数列．∴ ，所以又∵为正整数且，∴，n＝16，且1<m<n，使得成等比数列. 类型三 指数型典例3  已知数列的通项公式为，是其前n项的和，问是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由. 【答案】【解析】解： ，由，得 当时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为是正整数，故 当时，由得，，所以；当时，由得，，所以或；当时，由得，，所以或或，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：．1.已知函数,，若存在，使为的最小值，为的最大值，则此时数对为_________.【答案】（1，2）【解析】解：由知，又得；而的最小值时=，又为的最大值即所以得得0或1，则此时数对为（1，2）2.m∈N，若函数存在整数零点，则m的取值集合为________. 【答案】{0，3，14，30}．【解析】解：当x∈Z，且x≤10时，∈Z．若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点．若m≠0，则令f(x)=0，得m=∈N．注意到-5≤x≤10，且∈N，得x∈{1，6，9，10}，此时m∈{3，，14，30}．故m的取值集合为{0，3，14，30}．3.已知二项式，其中，且，在其二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？【答案】42【解析】解：连续三项的二项式系数分别为、、（），由题意，依组合数的定义展开并整理得，故，则，代入整理得，，，，故的取值为，，…，，共42个.4.已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数，若，且是正整数，则q等于 ________. 【答案】【解析】（负舍）因为q为小于1的正有理数，所以5.函数中，为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的值的和为______________.【答案】-14【解析】因为所以当时，当时，所有的值的和为6.设均为大于的自然数，函数，若存在实数使得，则.  【答案】【解析】因为，所以，所以当时 7.各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为      . 【答案】【解析】因为，所以，当时；当时（舍）；当时；所以q的所有可能的值构成的集合为