2019届二轮复习　概　率学案（全国通用）

第2讲　概　率
[考情考向分析]　1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．

热点一　古典概型和几何概型
1．古典概型的概率
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率
P(A)＝.
例1　(1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展．现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教．将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少2名毕业生，
基本事件的总数为N＝×A＝50，
每所学校男女毕业生至少安排一名共有2种情况．
一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有CCA＝16(种)，
二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女两男，有CC＝12(种)，
共有16＋12＝28(种)．所以概率为P＝＝.
(2)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是(　　)

A. B.
C. D.
答案　D
解析　以M为原点，BA所在直线为y轴，BA的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，则过C，M，D的抛物线方程为y2＝x，则图中阴影部分面积为2ʃdx＝×|＝，所以落在阴影部分的概率为P＝＝，故选D.
思维升华　(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．
(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
跟踪演练1　(1)(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　方法一　∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝，
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.
方法二　依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.
(2)(2018·咸阳模拟)在区间上随机选取一个实数x，则事件“sin x≥”发生的概率为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　因为x∈，sin x≥，所以≤x≤，
所以由几何概型的概率公式得事件“sin x≥”发生的概率为＝.
热点二　条件概率与相互独立事件
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率
P(B|A)＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
例2　(1)(2018·衡水调研)电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　由题图可知，AC之间未连通的概率是2＝，连通的概率是1－＝.EF之间连通的概率是2＝，未连通的概率是1－＝，故CB之间未连通的概率是2＝，故CB之间连通的概率是1－＝，故AB之间连通的概率是×＝.
(2)(2018·新余模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意得P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
思维升华　求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点
(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．
(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．
跟踪演练2　(1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，由题意得P(A)＝，P(AB)＝.由条件概率的定义可得P(B|A)＝＝＝.
(2)如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，用N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P(N|M)等于(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得，圆O的半径为2，
所以内接正方形ABCD的边长为AB＝2，
则正方形ABCD的面积为S1＝(2)2＝8，
因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF＝×2R＝2，
所以正方形EFGH的面积为S2＝22＝4，
所以P(N|M)＝＝，故选C.
热点三　离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
2．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0