2019届二轮复习高考解答题突破(一)　导数的综合应用学案（全国通用）

高考解答题突破(一)　导数的综合应用
突破“三分”——分离、分解、分类
[思维流程]

[技法点拨]
1．函数单调性和极值、最值的分类讨论策略
(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．
(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．
(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．
2．研究方程的根，可以通过构造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题，研究函数g(x)零点的策略．
(1)如果函数g(x)在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．
(2)如果函数g(x)在已知区间上不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g(x)的极值与零的大小，以及函数g(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．
3．利用导数证明不等式的策略
利用导数证明不等式的关键是构造函数，其思路：
(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式．
(2)对形如f(x)>g(x)的不等式，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．
(3)对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．
4．利用导数解决恒成立问题主要涉及方面及对策
(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：①一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；②如果无法分离参数可以考虑对参数或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．
考向一　导数与函数的单调性、极值与最值问题
1．讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论．
2．对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值．


[解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．






利用导数研究函数性质的一般步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，∴当x≥0时，g(x)≥0，从而f(x)≥0.
若a>1，则x∈(0，lna)时，g′(x)0，解得x>1；令f′(x)1时，f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当0≤a≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，f(0)＝0，此时f(x)在区间[0,1]上有1个零点．
当a>1时，－1－ 0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，要使ax≤x2＋1恒成立，必须a≤2，
∴满足条件的a的取值范围是.
4．(2018·洛阳二模)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)与直线x－y－1－ln2＝0相切，求实数a的值；
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，证明＋>2
[解]　(1)由f(x)＝lnx－ax，得f′(x)＝－a.
设切点的横坐标为x0，依题意得

解得故实数a的值为1.
(2)证明：不妨设00，－－2ln＝t－－2lnt.
设g(t)＝t－－2lnt，则当t>1时，g′(t)＝>0，
则函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(t)>g(1)＝0.
从而>0，即＋>2.