2019届二轮复习基础回扣(四)　数列学案（全国通用）

基础回扣(四)　数列
[要点回扣]
1．an与Sn的关系式
已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．
[对点专练1]　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.
[答案]　
2．等差数列的有关概念
(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)或an＝am＋(n－m)d.(n，m∈N*)
(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.
[对点专练2]　等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0.则公差d等于________．
[答案]　－2
3．等差数列的性质
(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
(2)若公差d>0，则为递增等差数列；若公差dB.
[对点专练4]　在等比数列{an}中，若a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
[答案]　4
5．等比数列的性质
当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.
[对点专练5]　各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
[答案]　10
6．数列求和
数列求和时要明确项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．数列求和的方法有公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等．
[对点专练6]　数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．
[答案]　
[易错盘点]

易错点1　忽视数列首项致误
【例1】　已知数列{an}对任意n∈N*都满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n，则数列{an}的通项公式为________．
[错解]　∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n，
∴a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8－5(n－1)，
两式相减，得2n－1an＝－5，
∴an＝－.
[错因分析]　当n＝1时，由题中条件可得a1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a1＝－5，显然是错误的．其原因是：两式相减时，所适用的条件是n≥2，并不包含n＝1的情况．只有所求的通项公式对n＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写．
[正解]　当n≥2时，由于a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n，
那么a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an－1＝8－5(n－1)，
两式对应相减可得2n－1an＝8－5n－[8－5(n－1)]＝－5，
所以an＝－.
而当n＝1时，a1＝3≠－＝－5，
所以数列{an}的通项公式为
an＝


本题实质上已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an与Sn的关系中，an＝Sn－Sn－1，成立的条件是n≥2，求出的an中不一定包括a1，而a1应由a1＝S1求出，然后再检验a1是否在an中，这是一个典型的易错点．

[对点专练1]　
(1)数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n，若S20＝－360，则a2＝________.
(2)已知数列{an}的前n项之和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________．
[解析]　(1)∵2Sn－nan＝n，①
∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，②
∴①－②得：(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，③
(1－n)an＋1＋nan＝1，④
由③－④得，(2－2n)an＝(1－n)(an－1＋an＋1)，
又∵n≥2，∴1－n≠0.∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴数列{an}为等差数列，设其公差为d，当n＝1时，2S1－a1＝1，∴a1＝1，
∴S20＝20＋d＝－360，∴d＝－2，∴a2＝1－2＝－1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
∴an＝
[答案]　(1)－1　(2)an＝
易错点2　忽视等比数列公比的条件致误
【例2】　各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于(　　)
A．150　　　　　　　　 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
[错解]　记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，b1，b2，b3，b4是公比为r的等比数列．∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，即r2＋r－6＝0，得r＝2或r＝－3.故S40＝，代入得S40＝150或－200.选C.
[错因分析]　数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.
[正解]　记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，b1，b2，b3，b4是公比为r＝q10>0的等比数列．
∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，
∴r2＋r－6＝0，
∴r＝2，r＝－3(舍去)，
∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝＝150，故选A.


在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，Sn中q≠0；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列{an}的前n项和为Sn，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比为q10>0.

[对点专练2]　
(1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，给出下列四个有关数列{an}的命题：
p1：如果a1>0且q>1，那么数列{an}是递增的等比数列；
p2：如果a1