2021高考数学大一轮复习考点规范练38空间几何体的结构及其三视图和直观图理新人教A版

考点规范练38　空间几何体的结构及其三视图和直观图

　考点规范练B册第23页　 

基础巩固

1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(　　)

A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱

答案:A

解析:圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱的正视图是圆或矩形.

2.将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如图所示,则该几何体的俯视图为(　　)

答案:C

解析:因为长方体的侧面与底面垂直,所以俯视图是C.

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

答案:A

解析:根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.

4.某几何体的正视图和侧视图均为如图(1)所示的图形,则在图(2)的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)

图(1)

图(2)

A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④

答案:A

解析:由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故①③正确.

5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A.3 B.2 C.2 D.2

答案:B

解析:由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE==2故选B.

6.(2019福建福州模拟)一水平放置的平面图形,用斜二测画法画出它的直观图如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的面积为(　　)

A.2 B.2

C.4 D.8

答案:D

解析:由斜二测画法可知,原平面图形是一个平行四边形,且平行四边形的一组对边长为2,在斜二测画法画出的直观图中,∠B'O'A'=45°且O'B'=2,那么在原图形中,∠BOA=90°且OB=4因此,原平面图形的面积为2×4=8,故选D.

7.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是(　　)

答案:D

解析:易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形,结合A,B,C,D选项知,D选项中侧视图、俯视图方向错误,故选D.

8.已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图①,A,B,C分别是△GHI三边的中点)后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为(　　)

图①

图②

答案:A

解析:因为平面DEHG⊥平面DEF,所以该几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.

9.如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC.已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为　　　　　. 

答案:

解析:设三棱锥V-ABC的底面边长为a,侧面VAC的边AC上的高为h,则ah=,其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形,其面积为a×h=

10.利用斜二测画法得到的以下结论,其中正确的是　　　　　.(写出所有正确结论的序号) 

①三角形的直观图是三角形;

②平行四边形的直观图是平行四边形;

③正方形的直观图是正方形;

④圆的直观图是椭圆;

⑤菱形的直观图是菱形.

答案:①②④

解析:①正确;由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确;但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直,故③错误;④正确;原图形中相等的线段在直观图中不一定相等,故⑤错误.

11.给出下列命题:①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.

其中正确命题的序号是　　　　　. 

答案:①

解析:①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体ACB1D1;②错误,反例如图所示,底面△ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是相邻的两个侧面.

12.如图,O1,O2为棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有正视图的最大面积是　　　　　. 

答案:a2

解析:所有正视图的最大面积是长为a,宽为a的矩形,面积为a2.

能力提升

13.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是(　　)

答案:C

解析:若俯视图为选项C中的图形,则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD,如图所示,该四棱锥的体积V=(2×2)×2=,符合题意.若俯视图为其他选项中的图形,则根据三视图易判断对应的几何体不存在,故选C.

14.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(　　)

A.6 B.9 C.12 D.18

答案:B

解析:由三视图可推知,几何体的直观图如图所示,

可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC⊥平面ACB,

故所求几何体的体积为3=9.

15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段A1C1上的动点,则三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为(　　)

A.1 B

C D.2

答案:D

解析:在正视图中,底面B,C,D三点,其中D与C重合,随着点P的变化,其正视图均是三角形,且点P在正视图中的位置在边A1D1上移动,由此可知,设正方体的棱长为a,则S正视图=a2;设A1C1的中点为O,随着点P的移动,在俯视图中,易知当点P在OC1上移动时,S俯视图就是底面三角形BCD的面积,当点P在OA1上移动时,点P越靠近A1,俯视图的面积越大,当到达A1的位置时,俯视图为正方形,此时俯视图的面积最大,S俯视图=a2,所以三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为=2.

16.如图,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是　　　　　.(填序号) 

答案:②③

17.(2019全国Ⅱ,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　. 

图1

图2

答案:26　-1

解析:由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,

所以BG=GE=CH=x,

所以GH=2x+x=(+1)x=1,

解得x=-1,

即该半正多面体的棱长为-1.

高考预测

18.某三棱锥的正视图如图所示,则下列图①②③④,所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是(　　)

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④

答案:D

解析:①②③④的模型分别如图(1)、图(2)、图(3)、图(4)所示,故选D.

图(1)

图(2)

图(3)

图(4)