2020届湖北省黄冈中学高三下学期4月高考模拟测试数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省黄冈中学高三下学期4月高考模拟测试数学（理）试题  一、单选题1．已知函数，集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】,，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.2．设是虚数单位，若复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数，∴，，则，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题3．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，．故选D．【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.4．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴，∴， ∴向量在向量方向的投影为.故选：B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题5．在中，“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】通过列举法可求解，如两角分别为时【详解】当时，，但，故充分条件推不出；当时，，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（     ）A． B．6 C． D．【答案】D【解析】用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.故选D．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（    ）  A． B． C． D．【答案】C【解析】由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.8．函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题10．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.故选D．【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.11．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．【详解】依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.故选B．【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.12．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数；当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；【详解】函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根.，所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.因此.设，，若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.设其解为，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.因为，方程在内有两个不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因为，所以，代入，得.设，，所以在上是增函数，而，由可得，得.由在上是增函数，得.综上所述，故选：D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题  二、填空题13．的展开式中的系数为__________．【答案】3【解析】分别用1和进行分类讨论即可【详解】当第一个因式取1时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；当第一个因式取时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；故的展开式中的系数为.故答案为：3【点睛】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．【答案】.【解析】利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.【详解】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.15．过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为________．【答案】.【解析】先求圆的半径, 四边形的最小面积,转化为的最小值为，求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率．【详解】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.16．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题：①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为.其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】①②③【解析】对①，由线面平行的性质可判断正确；对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误；【详解】对于①，因为平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若，，，平面，∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，∴②正确；对于③，设内心是，则平面，连接，则有，又内切圆半径，所以，，故，∴三棱锥的体积为，∴③正确；   对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的角最大时，点与点重合，在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，∴④不正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题 三、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）结合等差数列下标性质可得，再由前项和公式，即可求解；（2）由（1），再结合错位相减法即可求解；【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，，∴，∴，∴.（2）由（1）可知，∴数列的前项和为，，两式作差，得，∴.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前项和，属于中档题18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图.如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”.（1）根据频率分布直方图填写下面列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？ 男生女生总计书虫   非书虫   总计    附：0.2500.1500.1000.0500.0251.3232.0722.7063.8415.024 （2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“书虫”与性别有关；（2）分布列见解析，【解析】（1）由频率分布直方表求出男生与女生中书虫、非书虫的人数分别为：12，38和4，46，填写二联表结合表格可以求解；（2）结合题意可知，符合超几何分布，结合超几何分布公式求出对应概率，列出分布类，即可求解对应期望；【详解】（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下列联表： 男生女生总计书虫12416非书虫384684总计5050100 根据列联表中数据可得：，由于，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“书虫”与性别有关.（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，的所有可能取值为0，1，2，则，，，故的分布列为012  的数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方表中频数的求解，二联表的填表与计算，离散型随机变量的分布列与数学期望求解，属于中档题19．如图，已知边长为2的正三角形所在的平面与菱形所在的平面垂直，且，点是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连结，，，通过线面垂直的性质和菱形对角线性质证明，即可证明；（2）通过建系法求解，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解；【详解】（1）证明：取的中点，连结，，，由题意知，，又因为平面平面，所以平面.因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，又因为，所以，所以平面.又平面，所以.（2）连结，由题意知，.又因为平面平面，所以平面，又为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，即，令，所以.又由（1）可知平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则.【点睛】本题考查线面垂直的证明，建系法求解二面角的大小，属于中档题20．已知，为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于两点，的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足.”那么对于椭圆，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，实数【解析】（1）由题可知，过焦点的三角形的周长为，求得，再将点代入椭圆即可求解；（2）由（1）得，再分直线斜率为0和不为0两种情况作具体讨论，当斜率不为0时，可设直线方程为，联立直线与椭圆方程得出关于的韦达定理， ，结合前式所求韦达定理进行代换即可求证【详解】（1）根据椭圆的定义，可得，，∴的周长为，∴，得，∴椭圆的方程为，将代入椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，得，依题意可知，当直线的斜率为0时，，，则；当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，由消去，整理得，设，，则，，不妨设，，，同理，所以即，所以存在实数，使得成立.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，由直线与曲线的位置关系求解与弦长有关的定值问题，韦达定理在圆锥曲线中的应用，转化与化归思想，计算能力，属于难题21．已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若不等式对任意的，都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则，再结合导数的几何意义和点斜式求解切线方程即可；（2）原式等价于对任意的，都成立，经检验，当时，不等式，显然成立，当时，设，设，则恒成立，通过不等式放缩可得，原题转化为，分离参数得对恒成立，令，通过研究的正负分析的增减性确定函数，进而求出参数范围；【详解】（1）设，则，当时，，，∴函数在处的切线方程为，即.（2）根据题意可得对任意的，都成立，当时，不等式即为，显然成立；当时，设，则不等式恒成立，即为不等式恒成立，∵（当且仅当时取等号），∴由题意可得，即有对恒成立，令，则，令，即有，令，则，当时，，∴在上单调递增，又∵，∴有且仅有一个根，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最小值，为，∴.∴实数的取值范围.【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程，双变量不等式恒成立问题的等价转化，基本不等式的应用，构造函数法，利用导数研究函数的增减性与最值，转化与化归能力，属于难题22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）写出直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求．【答案】（1），；（2）.【解析】(1)利用代入消元法,可求直线l的普通方程,根据极坐标与直角坐标互化原则可得圆直角坐标方程;(2)将直线的参数方程标准化,借助标准参数方程中参数的几何意义,通过直线与圆联立即可求得.【详解】（1）将直线l的参数方程(t为参数)消去参数，可得直线l的普通方程为，即．由，得，所以,得，即．（2）由得（m为参数），将其代入，得，∴，，∴.【点睛】本题考查参数方程和普通方程互化、极坐标和直角坐标方程互化,考查直线参数的几何意义,难度一般.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】(1)去绝对值将函数化为分段函数的形式,解分段函数的不等式即可.(2) 恒成立，即求函数根据绝对值不等式的性质可得,故原不等式等价于,计算求解即可.【详解】（1）函数，当时，不等式即，求得，∴；当时，不等式即，求得，∴；当时，不等式即，求得，∴ ．综上所述，不等式的解集为或．（2）当时，∵不等式恒成立，∴，∴或，解得或，∴实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解,主要采用的方法是分类讨论,本题还考查了含参绝对值函数的最值问题,解决问题的方法是利用绝对值不等式的性质进行求解,难度一般.