2020届江苏省常熟市高三3月“线上教育”学习情况调查数学试题
展开2020届江苏省常熟市高三3月“线上教育”学习情况调查数学试题 高 中 数 学 2020．3注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3．答题时必须使用0. 5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卷相应位置上．1．已知集合，则=▲.2．某校高一、高二、高三学生数之比为2：3：4，现用分层抽样方法抽取位同学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则=▲.3．有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是▲. 4．若执行右面的程序框图，则输出的k值是▲.5．复数（其中i是虚数单位）的虚部是▲.6．已知，且，则▲.7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有▲盏灯.8. 双曲线的渐近线与抛物线的两个交点(原点除外)连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为▲.9. 四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2，则四棱锥的侧面积是▲.10.已知正项数列的前项和为，且，，则▲.11. 已知函数，若，则x▲.12.若对于给定的正实数k，函数f(x)＝的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是▲.13.已知平面四边形ABCD中，，则BC=▲.14.设函数（）的两个极值点分别为，若-2恒成立，则实数a的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，点分别为中点.（1）求证：平面；（2）求证：EF平面. 16. (本小题满分14分)在中，角的对边分别为，，，已知．（1）若的面积为，求，；（2）若，求的面积． 17. (本小题满分15分)江南某湿地公园内有一个以为圆心，半径为米的圆形湖心洲.该湖心洲的所对两岸近似两条平行线，且两平行线之间的距离为米.公园管理方拟修建一条木栈道,其路线为(如图，在右侧）.其中，与圆相切于点，米. 设 满足.（1）试将木栈道A-B-C的总长表示成关于的函数，并指出其定义域；（2）求木栈道A-B-C总长的最短长度. 18. (本小题满分15分)已知椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，过椭圆C上一点的直线与椭圆交于两点（均不在坐标轴上），设为坐标原点，过的射线OP与椭圆交于点.（1）若，求实数的值；（2）当为时，若四边形的面积为，试求直线的方程. 19. (本小题满分16分)构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，第二组是，第三组是，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的倍得到下一组，其中．设第组中有个数，且这个数的和为().（1）直接写出与的关系式，并求和；（2）已知，，是数列的前项和，是数列的前项和.若对任意，，求所有满足条件的正整数的值. 20. (本小题满分16分)已知函数，.（1）设,①当时，求曲线在点处的切线方程；②当时，求证：对任意恒成立.（2）讨论的极值点个数.
