2020届吉林省白城四中高三网上模拟考数学（理）试题（解析版）

2020届吉林省白城四中高三网上模拟考数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由交集、并集的定义求出，即可.【详解】由集合得，解得，则，又，，．故选：B.【点睛】本题考查了集合交集、并集的定义，属于基础题.2．是虚数单位， 则(  )A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】根据复数的除法运算求出的代数形式，然后再求出．【详解】由题意得，∴ ．故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题．3．已知某公司按照工作年限发放年终奖并且进行年终表彰.若该公司有工作10年以上的员工100人，工作5-10年的员工400人，工作0-5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5-10年的员工代表有（  ）A．8人 B．16人 C．4人 D．24人【答案】B【解析】依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作5~10年、工作0~5年的员工人数之比为1∶4∶2，故工作5~10年的员工代表有人，故选B．4．已知向量，，，则与的夹角为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意先求出向量与的数量积，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，进而得到夹角的大小．【详解】∵，∴．设与的夹角为θ，则，又，∴，即与的夹角为．【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题．5．长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】由题，找出，故(或其补角)为异面直线与所成角，然后解出答案即可.【详解】如图，连接，由，(或其补角)为异面直线与所成角，由已知可得，则．．即异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是　　  A． B． C． D．【答案】B【解析】模拟程序的运行结果，分析满足输出条件继续循环和不满足输出条件退出循环时，变量i值所要满足的要求，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得， 满足判断框内的条件，执行循环体，，，满足判断框内的条件，执行循环体，，，满足判断框内的条件，执行循环体，，，满足判断框内的条件，执行循环体，，，由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为10．可得判断框内的条件为？．故选B．【点睛】本题考查了条件结构的程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法，属于基础题．7．函数（其中，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法不正确的是（    ）A．函数为奇函数 B．函数的最大值为C．函数的最小正周期为 D．函数在上单调递增【答案】D【解析】根据图象得到函数的最大值与周期，从而确定与，再将点代入，从而得到的解析式，再利用的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的性质，即可得解.【详解】由图可知，，∴，，将点代入，得,∴()，故，向左平移个单位长度得,，，函数为奇函数，故A正确；的最大值为，故B正确；的最小正周期为，故C正确；在上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了函数的部分图象求解析式以及图象变换规律，考查了正弦函数的性质，属于中档题.8．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为秒，且一次亮红灯的时间不超过秒，一次亮绿灯的时间不超过秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设亮绿灯的时间随机设置为秒，则亮红灯的时间为，由题意可得，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即，由几何概型中的长度型计算公式求解即可.【详解】设亮绿灯的时间随机设置为秒，则亮红灯的时间为，则，所以，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间，则，即，由几何概型的概率公式知：．故选：A.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于中档题.9．已知函数，则的图象大致为（　　）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，排除B选项.由于，，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.10．已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 (  )A． B． C． D．【答案】C【解析】画出图形，由四边形是矩形可得点的纵坐标相等．根据题意求出点的纵坐标后得到关于方程，解方程可得所求．【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．在中，当时，则有．①由得，代入消去整理得．②结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等， 由①②两式消去得，整理得，解得或（舍去），∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到与x轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．11．在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，且，则A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】因为，所以由余弦定理，得，即，再由正弦定理得，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.∵，∴，∵，解得，∴，即，∴.故选C．12．已知函数，方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】可采用构造函数法，令，方程有4个不同的实数根转化为当时，两函数图像有四个交点，再分别分析临界点所对应的值，即可求出范围【详解】由图像分析可知，当时应有两解，即，解得，此时应满足，解得当，若与图像相切，设切点坐标为，由①，又，即②联立①②可得，，综上所述，答案选A【点睛】本题考查函数零点的求法，采用构造函数法，再根据交点个数是零点的具体体现来进行转化，同时利用导数来研究函数零点，本题中解法也是解决函数问题中常用解法  二、填空题13．若展开式的常数项等于，则__________．【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式，求得（x+2）（x）5展开式的常数项，再根据常数项等于80，求得a的值．【详解】∵（x）5的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣1）r•a5﹣r•x2r﹣5，显然，2r﹣5为奇数，所以若求展开式的常数项，则2r﹣5=-1，所以r=2,故（x+2）（x）5的展开式的常数项等于•a3＝80，∴a＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．设，满足约束条件，则的最小值是________．【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义求最小值即可.【详解】根据题意，如图所示，画出可行域与目标函数线，由，得，由图可知目标函数在点取最小值．故答案为：.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，解决本类题的常规方法为，正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.15．已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ___【答案】4【解析】画出图形，根据到直线，的距离相等得到为的平分线，然后根据角平分线的性质得到，再根据双曲线的定义可求得．【详解】由题意得，点A在双曲线的右支上，又点的坐标为，∴．画出图形如图所示，，垂足分别为，由题意得，∴为的平分线，∴，即．又，∴．故答案为4．【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．16．在平面直角坐标系中，已知圆：，直线：，过直线上点作圆的切线，，切点分别为，，若存在点使得，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】根据题意作出图像，如下图：求出的长，利用直线上存在点使得可转化为：直线上存在点使得，列不等式即可求解．【详解】如图，过直线上的点P作圆的切线，切点分别为A,B，连接AB交OP于点M，则点M是线段AB的中点，且ABOP， 所以=，又，所以，设，则，在中，由射影定理可得：，即，在中，由得：，解得：，所以，直线上存在点使得可转化为：直线上存在点使得，又点O到直线的最短距离，所以即，解得：.【点睛】本题主要考查了圆的性质及直角三角形射影定理，考查转化思想及点到直线距离公式，属于中档题． 三、解答题17．已知数列满足 ，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 。【解析】（Ⅰ）由可得，两式相减得到，最后验证满足上式，进而得到通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，于是，故利用裂项相消法可求出．【详解】（Ⅰ）∵∴，两式相减得，∴．又当时，满足上式，∴．∴数列的通项公式． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴∴ ．【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题，故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对时的情况的验证．（2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几项．18．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，  .（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：（1）取的中点为，连接，由正三角形性质得，由矩形的性质得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦公式可得结果.试题解析：（1）取的中点为，连接，为等边三角形，.底面中，可得四边形为矩形，，平面，平面.又，所以.（2）由面面知，平面，两两垂直，直线与平面所成角为，即，由，知，得.分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， 设平面的法向量为.，则，设平面的法向量为，，则，,由图可知二面角的余弦值.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．某学校共有名学生，其中男生人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：，其中）【答案】（1），平均数：元；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有．【解析】（1）根据频率和为，列方程解出的值，再由频率分布直方图求样本平均数，即可得解；（2）由题意可知随机变量服从超几何分布，确定的取值，求出对应概率，可得的分布列，再计算数学期望即可；（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高消费群”的人，由此完成列联表，并由公式计算，查表判断即可.【详解】（1）由题意知，，解得，样本的平均数为：（元），所以估计该校学生月消费金额的平均数为元．（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人．随机变量的所有可能取值有，，，，（），所以，随机变量的分布列为随机变量的数学期望．（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高消费群”的人，其中女生人；得出以下列联表：，所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．【点睛】本题考查了频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、列联表以及独立检验的应用，考查了计算能力与数据分析能力，属于中档题.20．已知椭圆的右焦点与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求,利用，即可写出椭圆的方程（2）由题意可设直线的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出，利用根与系数的关系可求存在m.【详解】解：（1）抛物线的焦点是，，又椭圆的离心率为，即，，则故椭圆的方程为.（2）由题意得直线的方程为由消去得.由，解得.又，.设，，则，..，，若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，即，解得.又，.即存在使以线段为直径的圆经过点.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，直线和椭圆相交的问题，向量的运算，属于难题.21．已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）求导数，分类讨论，利用函数的两个零点，得出，即可求实数的取值范围；（2）由题意，方程有两个根为，不妨设，要证明，即证明，即证明，令，证明对任意恒成立即可.【详解】（1），当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；当时，由可解得，由可解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，要使得在上有两个零点，则，解得，则m的取值范围为．（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，∵，∴，∴又∵，∴∴，则在单调递增∴，故原不等式成立．【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数的零点个数确定参数的取值范围的问题，再者就是零点所满足的条件，构造新函数，根据函数的单调性得到结果.22．平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．【答案】(1)直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.(2).【解析】(1)直线参数方程消去即可得直角坐标方程，极坐标方程两边同时乘以后再按极坐标与直角坐标关系化简即可.（2）写出的参数方程，代入曲线的直角坐标方程可得，利用根与系数的关系求得即为所求.【详解】（1）直线的参数方程为，把直线的参数方程化为普通方程为．由，可得，∴曲线的直角坐标方程为．（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，∴直线的参数方程为(为参数)，将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点，对应的参数分别为，．由一元二次方程的根与系数的关系知，．∴．【点睛】极坐标与直角坐标之间的转化：，.直线的参数方程中注意参数的几何意义.23．设函数（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）求证：【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析【解析】（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）≥1等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥1，去绝对值，分段求出即可，（Ⅱ）根据绝对值三角不等式可得f（x），只要证明2即可.【详解】（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）≥1等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥1，当x≤﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+x﹣1≥1，原不等式无解，当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+x﹣1≥1，解得x＜1，当x≥1时，不等式化为x+1﹣x+1≥1，解得x≥1，综上所述，不等式的解集为[，+∞）；（Ⅱ）f（x）＝|x|﹣|x|≤|（x）﹣（x）|，∵a∈[0，2]，∴a+2﹣a≥2，∴2[a+（2﹣a）]≥（）2，∴（）2≤4，∴2，∴f（x）≤2．【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用和不等式的证明，考查了推理论证能力，属于中档题．