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2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学(文)试题(解析版)
展开2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学(文)试题 一、单选题1.复数的虚部记作,则( )A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简,再根据题目中定义的复数的虚部,可得答案.【详解】解:,又复数的虚部记作,.故选:.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义,属于基础题.2.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】程序框图的作用是计算,故可得正确结果.【详解】根据程序框图可知,故选C.【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构,属于容易题.3.关于函数的性质,下列叙述不正确的是( )A.的最小正周期为B.是偶函数C.的图象关于直线对称D.在每一个区间内单调递增【答案】A【解析】试题分析:因为,所以A错;,所以函数是偶函数,B正确;由的图象可知,C、D均正确;故选A.【考点】正切函数的图象与性质.4.已知,则“且”是“且”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:当且时,由不等式性质可得且;当,满足且,但不满足且,所以“且”是“且”的充分不必要条件,故选A.【考点】1.不等式性质;2.充要条件.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体,作出直观图,代入数据计算.【详解】解:由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体,作出几何体的直观图如图所示:其中半圆柱的底面半径为2,高为4,长方体的棱长分别为4,2,2,几何体的表面积.故选:.【点睛】本题考查了几何体的常见几何体的三视图,几何体表面积计算,属于中档题.6.在约束条件:下,目标函数的最大值为1,则ab的最大值等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数取得最大值,确定,的关系,利用基本不等式求的最大值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分),由,则,平移直线,由图象可知当直线经过点时直线的截距最大,此时最大为1.代入目标函数得.则,则当且仅当时取等号,的最大值等于,故选:.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法.7.设{an}是有正数组成的等比数列,为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质易得a3=1,进而由求和公式可得q,再代入求和公式计算可得.【详解】由题意可得a2a4=a32=1,∴a3=1,设{an}的公比为q,则q>0,∴S31=7,解得q或q(舍去),∴a14,∴S5故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题.8.双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r等于( )A. B.2C.3 D.6【答案】A【解析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y=±x,圆心坐标为(3,0).由题意知,圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即r=.答案:A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系,属于基础题.9.定义域为的函数对任意都有,且其导函数满足,则当时,有( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析:∵函数对任意都有,∴函数对任意都有,∴函数的对称轴为,∵导函数满足,∴函数在上单调递增,上单调递减,∵,∴,∵函数的对称轴为,∴,∵,∴∴∴,∴,∴,故选C.【考点】(1)函数的图象;(2)利用导数研究函数的单调性.10.对圆上任意一点,若点P到直线和的距离之和都与x,y无关,则a的取值区间为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由点到线的距离公式表示出点到直线与的距离之和,取值与,无关,即这个距离之和与无关,可知直线平移时,点与直线,的距离之和均为,的距离,即此时与,的值无关,即圆夹在两直线之间,临界条件为直线恰与圆相切,即可求出的取值范围.【详解】解:点到直线与直线距离之和取值与,无关,这个距离之和与无关,如图所示:可知直线平移时,点与直线,的距离之和均为,的距离,即此时与,的值无关,当直线与圆相切时,,化简得,解得或(舍去),故选:.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,属于中档题11.若,,满足,,则的最大值为( )A.10 B.12 C. D.【答案】B【解析】设,,,表示出,利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解:设,,,则,,当且仅当,同向时取最大值故故选:【点睛】本题考查向量的数量积的定义,属于中档题.12.点,分别是棱长为1的正方体中棱BC,的中点,动点P在正方形(包括边界)内运动,且面,则的长度范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分别取棱、的中点、,连接,易证平面平面,由题意知点必在线段上,由此可判断在或处时最长,位于线段中点处时最短,通过解直角三角形即可求得.【详解】解:如下图所示:分别取棱、的中点、,连接,连接,、、、为所在棱的中点,,,,又平面,平面,平面;,,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面,又,平面平面,是侧面内一点,且平面,则必在线段上,在△中,,同理,在△中,求得,△为等腰三角形,当在中点时,此时最短,位于、处时最长,,,所以线段长度的取值范围是,.故选:.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题,考查学生的运算能力及推理转化能力,属中档题,解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置. 二、填空题13.命题“”的否定为__________.”【答案】【解析】全称命题“”的否定是存在性命题“”,所以“”的否定是“”.14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组(即第五组)的频数为 ▲ .【答案】360【解析】略15.设、分别是抛物线的顶点和焦点,是抛物线上的动点,则的最大值为__________.【答案】【解析】试题分析:设点的坐标为,由抛物线的定义可知,,则,令,则,,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为.【考点】1.抛物线的定义及几何性质;2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式,属中档题;求圆锥曲线的最值问题,可利用定义和圆锥曲线的几何性质,利用其几何意义求之,也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示,即求出其目标函数,利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之.16.已知,,则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析:因为,所以,则(当且仅当,即时,取等号);故填.【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题,属于难题;解决本题的关键是消元、裂项,难点是合理配凑、恒等变形,目的是出现基本不等式的使用条件(正值、定积),再利用基本不等式进行求解,但要注意验证等号成立的条件.【考点】基本不等式. 三、解答题17.设的内角、、所对的边分别为、、,已知,且.(1)求角的大小;(2)若向量与共线, 求的值.【答案】(1);(2)。【解析】试题分析:(1)根据三角恒等变换,,可解得;(2)由与共线,得,再由正弦定理,得,在根据余弦定理列出方程,即可求解的值.试题解析:(1),即,解得.(2)与共线,, 由正弦定理,得,①,由余弦定理,得, ② 联立①②,.【考点】正弦定理;余弦定理.18.学校为了解高二学生每天自主学习中国古典文学的时间,随机抽取了高二男生和女生各50名进行问卷调查,其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”,否则为“非古文迷”,调查结果如下表: 古文迷非古文迷合计男生262450女生302050合计5644100 参考公式:,其中参考数据:0.5000.4000.2500.0500.0250.0100.4550.7081.3213.8415.0246.635 (1)根据上表数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关?(2)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数;【答案】(1)没有(2)3人和2人【解析】(1)求出,与临界值比较,即可得出结论;(2)调查的50名女生中“古文迷”有30人,“非古文迷”有20人,按分层抽样的方法抽出5人,即可得出结论;【详解】解:(1)由列联表得所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关.(2)调查50名女生按分层抽取5人,其中古文迷有人,非古文迷有人,即所抽取的5人中,古文迷和非古文迷的人数分别为3人和2人.【点睛】本题考查独立性检验知识的运用,分层抽样各层人数的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.19.如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,D为底边AB的中点,E为侧棱的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)若,求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】(1)设和的交点为,根据,且,得到四边形为平行四边形,故,平面.(2)证明平面,可得平面,故有,由正方形的两对角线的性质可得, 从而证得平面.(3)利用等体积法将转化为求可得.【详解】证明:(1)设和的交点为O,连接EO,连接OD.因为O为的中点,D为AB的中点,所以且.又E是中点,所以,且,所以且.所以,四边形ECOD为平行四边形.所以.又平面,平面,则平面.(2)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以,.所以平面ABC.因为平面ABC,所以.由已知得,所以,所以平面.由(1)可知,所以平面.所以.因为侧面是正方形,所以.又,平面,平面,所以平面.(3)解:由条件求得,,可以求得所以【点睛】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法,直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理的应用,等体积法的应用,属于中档题.20.已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论. 【答案】(1);(2)定值为2.【解析】试题分析:(1)由题意得到,,所以,写出椭圆方程;(2)联立直线方程与椭圆方程,得到韦达定理,,.试题解析:(1)依题意,,.∵点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,∴,∴.∴椭圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时,由解得,.设,,则为定值.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为:.将代入整理化简,得.依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,,则,.又,,所以 .综上得为常数2.点睛:圆锥曲线大题熟悉解题套路,本题先求出椭圆方程,然后与直线方程联立方程组,求得韦达定理,则,,,为定值。21.已知函数.(1)当时,证明:;(2)若对于定义域内任意x,恒成立,求t的范围【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)构造函数利用导数求出函数的单调性,得到函数的最大值,即可得证;(2)参变分离得到在恒成立,构造函数求出函数的最小值,即可得到参数的取值范围.【详解】(1)证明:即是证明,设,当,,单调递增;当,,单调递减;所以在处取到最大值,即,所以得证(2)原式子恒成立即在恒成立设,,设,,所以单调递增,且,所以有唯一零点,而且,所以两边同时取对数得易证明函数是增函数,所以得,所以所以由在上单调递减,在上单调递增,所以于是t的取值范围是【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题,属于中档题.22.在极坐标系下,已知圆和直线(1)求圆和直线的直角坐标方程;(2)当时,求圆和直线的公共点的极坐标.【答案】(1) 圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l的直角坐标方程为x-y+1=0(2)【解析】试题分析:(1)根据 将圆O和直线l极坐标方程化为直角坐标方程(2)先联立方程组解出直线l与圆O的公共点的直角坐标,再根据化为极坐标试题解析:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρ cos θ+ρ sin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得,,解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为,即为所求.23.已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)求出f(x)的最小值,得到关于m的不等式,解出即可.【详解】(1)原不等式为:,当时,原不等式可转化为,即;当时,原不等式可转化为恒成立,所以;当时,原不等式可转化为,即.所以原不等式的解集为. (2)由已知函数,可得函数的最小值为4,所以,解得或.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.