北京市育才学校2024-2025学年九年级下学期开学 数学试题（含解析）

这是一份北京市育才学校2024-2025学年九年级下学期开学 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是某几何体的视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱B. 球C. 三棱柱D. 长方体
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆形，
故该几何体是一个圆柱，
故选A．
【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到2月16日，累计票房已达115亿元，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次用科学记数法表示约为（ ）
A. B. C. D. 亿
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行求解即可．
【详解】解：电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次为：亿，用科学记数法表示约为．
故选：C．
3. 七巧板是我国的一种传统智力玩具．下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，符合题意，
不是轴对称图形，不符合题意，
不是轴对称图形，不符合题意，
不是轴对称图形，不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义，是解题的关键．
4. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出空白部分在整个转盘中所占的比例即可得到答案．
【详解】解：∵每个扇形大小相同
∴灰色部分面积和空白部分的面积相等
∴落在空白部分的概率为：
故选B．
【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
5. 已知正多边形的一个外角等于，则该正多边形的边数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外角问题．根据外角和为360度，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：该正多边形的边数为；
故选D．
6. 实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示．则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上的点所表示的数即可解答．
【详解】解：A.∵a在原点的右边，∴a>0，故不正确；
B. ∵a在b的右边，∴a>b，故不正确；
C. ∵，5>0，∴，故正确；
D. ∵a表示的点到原点的距离比b表示的点到原点的距离近，∴，故不正确；
故选C．
【点睛】此题主要考查数利用数轴上的点的比较代数式的大小，绝对值的意义，以及加法法则，关键熟记数轴上的点从左至右依次增大，位于原点左边的数为负数．原点右边的数为正数，正数大于负数．
7. 已知是不等式的解，b的值可以是（ ）
A. 4B. 2C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】把x的值代入不等式，求出b的取值范围即可得解．
【详解】解：∵是不等式的解，
∴，
解得，
所以，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的解和解不等式，熟练掌握不等式的解是解答此题的关键．
8. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．
【详解】解：如图，
∵AB为⊙O的直径，P在上，
∴∠APB=90°，
∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，
∴∠BPQ=25°，
∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，
∵点C、D将分成相等的三段弧，
∴，
∴∠BOD=，
∵∠BOQx②
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
19. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行得出，然后用“边角边”证明即可．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．
20. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据整式的运算法则把化简，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出一个或几个式子的值，这时可以把这一个或几个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值．运用整体代换，往往能使问题得到简化．
21. 如图，四边形是矩形，点E是边上一点，．
（1）求证：；
（2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，求的长．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到，，即可得到结论成立；
（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出，，再证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．
【详解】（1）证明：
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵由（1），
∴．
∵矩形中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题．
22. 我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）； 你理由是：________________________________________________．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：
①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为，推测点P位于（ ）
A．线段中点左侧 B．线段中点处 C．线段中点右侧
【答案】（1）是，答案见解析 ；（2） ① 作图见解析；②A．
【解析】
【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）①根据它们距离表的远近和角度的大小来确定；②根据夹角的大小计算判断
【详解】（1）是，
理由：由测量结果可知，由勾股定理的逆定理可知．
故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知．
（2）①如图，∵tan∠ADB=＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠AMB＞∠ADB，
∴点M在点D的左边；
∵tan∠ADB=＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠ANB＜∠ADB，
∴点N在点D的右边；
如图，点M,点N即为所求．
②∵tan∠ADB=＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠APB＜∠ADB，
∴点P在点D的左边；
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形两个锐角互余的性质，特殊角的三角函数值，熟练将生活问题转化数学模型求解是解题的关键．
23. 已知直线过点．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ① ；②．
【解析】
【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式可得，即；
（2）①由P在直线上且横坐标为m，可求点P的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为即可；
②由P（m, ）,Q ，可求PQ=利用三角形面积公式S△POQ=，由的面积大于3，列不等式，解得：或（舍去）即可．
【详解】解：（1）∵直线过点，
∴，即．
（2）①∵P在直线上且横坐标为m，
∴点P的纵坐标为，
∵轴，
∴点Q的纵坐标为．
∵点Q在函数的图象上，
∴点Q的横坐标为．
∴点Q的坐标为．
②∵P（m, ）,Q，
PQ=，
S△POQ=，
的面积大于3，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式是解题关键．
24. 如图，AB为的直径，点C在AB的延长线上，CD与相切于D，过点B作交于点E，连接AD，AE．
（1）求的度数；
（2）若，求BE的长．
【答案】（1）45°；（2）．
【解析】
【分析】(1) 连接OD，交BE于点F，在中CD与相切于点D，，，即可求解；
(2)根据AB是直径，，所以是等腰直角三角形，设，则，进而得出结论．
【详解】（1）连接OD，交BE于点F，如图所示:在中
∵CD与相切于点D，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：∵AB是直径，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的相关知识，正确作出辅助线理解题目含义是解题的关键．
25. 品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎，节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：
a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下图，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分：

b．丙参加比赛的得分统计图如下图：（说明：丙在第四轮比赛中被淘汰）

根据以上信息，回答下列问题；
（1）已知点A的坐标为，则此轮比赛中；甲的得分为 ，与甲同场答题的百人团中，有 人答对；
（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有 轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为 ；
（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】（1）26；74．
（2）2；乙． （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分，因此由点A的坐标可求甲的得分．又百人团答错的人数即为选手该轮得分，故可求出百人团答错的人数，进而得到百人团中答对的人数；
（2）由图可得横坐标大于纵坐标的点有2个，故甲得分高于乙得分的比赛共有2轮；图中5个点的横坐标即为甲的得分，纵坐标为乙的得分，再根据第二个图可得到乙的得分最高；
（3）方差衡量数据波动情况，波动越大，方差越大，波动越小，方差越小．由图可得乙的得分的波动比甲的大，故百人团答对的人数波动也打，故．
【小问1详解】
甲得分为26，百人团答对人数为：
故答案为：26；74．
【小问2详解】
∵丙的最后两轮得分均为0
∴丙的总得分最少
∵图中的点中，横坐标大于纵坐标的点有2个,各点的纵坐标之和大于横坐标之和
∴乙的总得分高于甲的总得分
∴甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙
故答案为：2；乙．
【小问3详解】
∵由图可知甲的得分在30分左右波动，而乙的得分波动更大
∴甲参赛时百人团答错人数的波动比乙参赛时百人团答错的人数波动更小
∴甲参赛时百人团答对人数的波动比乙参赛时百人团答对的人数波动更小
故答案为：．
【点睛】本题主要考查在材料阅读下解决实际问题，涉及到平面直角坐标系中点的坐标，统计中的方差，正确理解题意是解题的关键．
游戏规则
a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；
b．新画线段起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点；
c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；
d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．
节气
夏至
秋分
冬至
太阳光线与地面夹角