2024-2025学年山东省淄博市高二上册10月月考数学阶段性检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市高二上册10月月考数学阶段性检测试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（ ）
A ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
2. 设，且，则（ ）
A. B. 0C. 3D.
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A. 相互独立事件B. 相互互斥事件
C. 即相互独立又相互互斥事件D. 既不互斥又不相互独立事件
4. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661 9597 7424
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A. 0.852B. 0.8192C. 0.8D. 0.75
7. 在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，为对立事件，则
B. 若，为互斥事件，则
C 若，则，相互独立
D. 对于任意事件，，有
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
11. 如图，平面，，则（ ）

A.
B. 平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________．
13. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________.
14. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.

（1）证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16. 如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和边上点，且，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
（1）求盒中红球、黄球、蓝球个数；
（2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
18. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．
19. 在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立.
（1）若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小；
（2）若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，
（i）从下面①②③④中选出一定错误的结论：
①；②；③，④
（ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围.
2024-2025学年山东省淄博市高二上学期10月月考数学阶段性
检测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【正确答案】A
【分析】判断各组向量是否共面即可.
【详解】对于A，若，，共面，则，其中，
整理得到：，因为构成空间的一个基底，
故，此方程无解，故，，不共面，即它们可构成基底，故A正确；
对于B，因为，故，，共面，故B错误；
对于C，因为，故，，共面，故C错误；
对于D，因为，故，，共面，故D错误；
故选：A.
2. 设，且，则（ ）
A. B. 0C. 3D.
【正确答案】D
【分析】由向量的共线与垂直条件求解的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.
【详解】，
由，则有，解得，则.
由，则有，解得，，
所以，故，
则.
故选：D.
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A. 相互独立事件B. 相互互斥事件
C. 即相互独立又相互互斥事件D. 既不互斥又不相互独立事件
【正确答案】A
【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项.
【详解】由于表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件，
由，，，有，
所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
4. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解.
【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，
记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则，
所以.
故选：B.
5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可
【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是，
故选：C．
6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661 9597 7424
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A. 0.852B. 0.8192C. 0.8D. 0.75
【正确答案】D
【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），
共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为.
据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.
故选：D.
7. 在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可；
【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
∴，
设直线与所成角为，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为；
故选: A
8. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以点到平面的距离为，
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，为对立事件，则
B. 若，为互斥事件，则
C. 若，则，相互独立
D. 对于任意事件，，有
【正确答案】AB
【分析】由对立事件，互斥事件，独立事件的概念及概率的性质逐项判断即可.
【详解】若，为对立事件，则，故A正确；
若，为互斥事件，则，故B正确；
若，则事件，事件不一定相互独立，概率相等与事件独立没有关系，故C错误；
若事件，，相互独立，则，故D错误.
故选：AB
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
【正确答案】AB
【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
11. 如图，平面，，则（ ）

A.
B. 平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【正确答案】BCD
【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可.
【详解】根据题意可知两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，
则，，
所以，所以，不垂直，故A错误；
依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线平面，所以平面，故B正确；
设为平面的一个法向量，则，
令，可得，
而即底面的一个法向量，设平面与平面夹角，
则,故C正确；
设直线与平面所成角为，，
则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________．
【正确答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离.
【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
又，
取，，则，，
所以点到直线的距离为.
故答案为.

13. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________.
【正确答案】
【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果.
【详解】甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况，
甲恰好连胜两局的概率.
故答案为.
14. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________.
【正确答案】0.245##
【分析】根据题意知甲前4场有一场输，第五场必定获胜，由于比赛场次主客场安排固定，所以可计算出每种输一场概率，最后相加可得到甲队以4：1获胜的概率.
【详解】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，
设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，
则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为
所以甲队以4：1获胜的概率
.
故0.245
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.

（1）证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证；
（2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，

则，，，A1,0,0，，，
所以，，，
设m=x,y,z是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以平面的一个法向量，
又，所以，因为平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，所以是平面一个法向量，
又因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16. 如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和边上的点，且，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】(1)见证明；(2)
【分析】（1）在中，根据余弦定理，可得，所以，即是直角三角形，又为CE的中点，所以为等边三角形，根据线面平行的判定定理即可证明．
（2）以点为原点，以AB，，所在直线分别为轴，轴，轴建系，求出，平面
法向量的坐标，计算与法向量的夹角，可得所求．
【详解】（1）平面平面，平面平面，平面平面
则平面，
又，则
因为，，，
所以，，
在中，，，
由余弦定理可得：
解得：
所以，所以是直角三角形，
又为CE的中点，所以
又，所以为等边三角形，
所以，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，以点为原点，以AB，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.
所以，，.
设为平面的法向量，则，即
设x=1，则，，即平面的一个法向量为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查线面平行的判定，空间中线面角的求法，利用余弦定理解三角形．考查空间想象、计算证明的能力，属中档题．
17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
（1）求盒中红球、黄球、蓝球个数；
（2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
【正确答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出.
（2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平.
【小问1详解】
设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B，
则，
由已知得，解得，
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
【小问2详解】
由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个，
用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，
表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，．
可得，
记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
18. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．
【正确答案】（1）0.52
（2）0.648
【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；
（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.
【小问1详解】
用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（），
设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥.
所以
．
故再赛2局结束这次比赛的概率为.
【小问2详解】
记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而，
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥，
所以.
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
19. 在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立.
（1）若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小；
（2）若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，
（i）从下面①②③④中选出一定错误的结论：
①；②；③，④
（ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围.
【正确答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析.
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求，作差可得，
分别在条件下确定差的正负，由此可得的大小关系，
（2）（i）由条件证明，由不等式性质可求的范围，由此确定一定错误的结论；
（ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求，
若选①，令，求出的范围，化简，结合二次函数性质求其范围；
若选③，令，结合对勾函数性质求的范围，化简，结合二次函数性质求其范围；
【小问1详解】
猜测全部正确的概率为，
猜测全部错误的概率为，
因为，
所以当时，，
当时，，
当时，，
【小问2详解】
（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，
则，解得，
所以，
所以，
因此，②④一定错误，
（ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况：
两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为；
有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为；
两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为；
所以，
若选择①，
令，则，其中，
所以，
所以，
记，，
由二次函数的性质可知，在区间上单调递增，
所以，
即的取值范围是
若选择③，
此时，又，
所以，所以，
令，则
，，
由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为 ，，，
所以，，
记，，
由二次函数的性质可知，在区间上单调递减，
所以，即
关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件，利用基本事件表示，再结合概率运算公式求其概率表达式.