2024—2025学年天一大联考(下)高三第一次四省联考数学试卷及参考答案

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数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案 A
命题透析 本题考查集合的运算.
解析 集合A和B的公共元素只有2和4,所以A∩B={2,4}.
2.答案 B
命题透析 本题考查复数的几何意义.
解析 z=1+2i1-i=1+2i1+i(1-i1+i=-1+3i2, 1232 位于第二象限.
3.答案 B
命题透析 本题考查抛物线的方程.
解析 抛物线的标准方程为
4.答案 C
命题透析 本题考查平均数的计算.
解析 由已知得x=100﹣10﹣15﹣25﹣20﹣10=20,估计总体的平均数为 20×10100+30×15100+40×20100+50× 25100+60×20100+70×10100=46.
5.答案 D
命题透析 本题考查圆锥的结构特征及相关计算.
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意知 S例S底=πrlπr2=3,所以l=3r, 又 h=l2-r2=22r=4,所以 r=2,所以圆锥的体积 V=13πr2h=8π3.
6.答案 C
命题透析 本题考查三角函数的图象与性质.
解析 由已知得f(x)的最小正周期T=4π，因为 fπ3=12,fπ3=12, 而 π3-π30,则l的方程为 x=3y-c,由 x=3y-c,x2a2+y2b2=1, 导 a2+3b2y2-23b2cy-b4=0, 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则 y1+y2=23b2ca2+3b2,y1y2=-b4a2+3b2.因为|AF|=3|BF|,所以 y1=-3y22..由①②可得 9c2a2+3b2=1, 再结合 b2=a2-c2,e=ca,得 9e24-3e2=1,解得 e=33.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案 CD
命题透析 本题考查平面向量的性质与坐标运算.
解析 对于 A, ∣b∣=-32+42=5,故A错误；
对于B,a+c=(4,3),与b不平行,故B错误;
对于C,a·(b-c)=(0,-1)·(-7,0)=0,故C正确;
对于D,设a在c上的投影向量为d=(x,x),则a·c=d·c=8x=-4,所以 x=-12,故D正确.
10.答案 ACD
命题透析 本题考查等比数列的性质.
解析 对于A，因为 a1=1,且-a₂,a₁,a₃成等差数列，所以 a3-a2=2a1=2,故A正确；
— 2 —
对于B，由 a3-a2=2,得 q2-q=2,解得q=-1或 q=2,当 q=-1时， S4=0,故B错误；
对于C,若q>0,则 q=2,an=2n-1, 所以 lg2an=n-1,所以 lg2an的前n项和为故C正确；
对于D,当q>0时, an=2n-1,2025+lnan=2025+n-1ln2, 由于 an=2n-1 呈指数增长，而 2~025~+(n-1)ln2呈线性增长，因此当n足够大时，必有 an>2025+lnan,故D正确.
11.答案 ABD
命题透析 本题考查导数与函数的性质、逻辑推理.
解析 对于A，由题意得. f'x=2xln2,f''x=2xln22>0,所以f(x)是T函数，故A正确；
对于B,设g(x)=f(x+1)-f(x),则. g'x=f'x+1-f'x,因为f(x)是T函数，所以f'(x)在R上单调递增，所以 g′x>0,,所以g(x)单调递增,所以g(1)f'x,即 'x>0,所以φ(x)在 0+∞上单调递增，……………………(7分)
因为m>0,所以φ(m)>φ(0),即 fm+n-fm>fn-f0=fn,
故f(m+n)>f(m)+f(n). …… (8分)
(Ⅲ)存在实数x>0,使得(k-2)x-1>f(x)成立,即 k>x+1lnx+1+2x+1x成立. ………………………… (9分)
令 gx=x+1lnx+1+2x+1x,x>0, 则 g'x=x-1-lnx+1x2,x>0,…………………………………………… (10分)
令 h(x)=x-1-ln(x+1),
故h(x)在(0,+∞)上单调递增. … (11分)
又h(2)=1-ln30,
故存在唯一的 x0∈23, …… (12分)
当 00,y'>0, 再由 x0,y0,xi,yi∈N*,得 x′,y′∈N*,故(x',y')也是C上的格点. (12分)
另一方面，因为 x0∈xixi+1,y0∈yiyi+1,所以 xi+3yi