2025高考数学专项讲义第04讲数列求和综合(分组求和、裂项相消、错位相减(万能公式)、奇偶并项、周期综合)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第04讲数列求和综合(分组求和、裂项相消、错位相减(万能公式)、奇偶并项、周期综合)(学生版+解析)，共83页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，整体点评，易错点晴等内容，欢迎下载使用。
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.熟练掌握裂项相消求和
2.熟练掌握错位相减求和
3.熟练掌握拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法，能综合解决数列的求和问题
4.熟练掌握数列中不等式的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常考查裂项相消求和、错位相减求和、奇偶并项求和，需重点综合复习
知识讲解
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，Sn＝na1；②当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
考点一、公式法直接求和
1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
2．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
4．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
1．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，．
(1)求的通项公式：
(2)记为的前n项和，若，求m．
2．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .
3．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.
(1)求，，并证明：数列是等差数列；
(2)求.
4．（2024·辽宁·二模）设等差数列的前n项和为，公差为d，且.若等差数列，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，且，求n的最大值.
5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
考点二、分组转化求和
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2．（2024·浙江台州·一模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
1．（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
35．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
考点三、裂项相消求和
1．（全国·高考真题）设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
2．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
3．（2024·湖北·模拟预测）设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前项和.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.
1．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
3．（2024·浙江丽水·二模）设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
4．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
考点四、错位相减求和
1．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
4．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
1．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2024·贵州遵义·三模）已知数列的前n项和为，，且点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
3．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
考点五、奇偶并项求和
1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
2．（2024·河北保定·二模）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
3．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足 当时，
(1)求和，并证明当为偶数时是等比数列；
(2)求
5．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
1．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
2．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
3．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，.
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值.
考点六、数列求和之不等式综合
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项积．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：．
4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记，求证：．
1．（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，证明：.
2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．
3．（2024·安徽合肥·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求正整数的最大值.
5．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
2．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
3．（2024·山西吕梁·二模）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
4．（2024·四川成都·三模）已知数列的前项和为，.
(1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，是等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
1．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，为的前项和，为等差数列．
(1)求与的关系；
(2)若，为数列的前项和，求使得成立的的最大值．
3．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的前项和.
4．（2023·湖南永州·二模）已知数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
5．（23-24高三上·江苏南通·期末）设的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，且的前项和为，求证：.
6．（2023·山东潍坊·模拟预测）设数列的前项和为，已知．
(1)证明：为等比数列，求出的通项公式；
(2)若，求的前项和．
7．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；
(2)如果，求数列的前项和.
8．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列中，为的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和，求.
9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知等比数列的首项为，公比为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由.
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义：表示不超过x的最大整数．设，求数列的前114项和．
1．（全国·高考真题）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
2．（全国·高考真题）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
3．（广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足，
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切的正整数都有
4．（山东·高考真题）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
5．（广东·高考真题）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．
(1) 证明：；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有．
6．（山东·高考真题）设等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足 ，求的前项和.
7．（浙江·高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
8．（全国·高考真题）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
（1）求、的通项公式：
（2）求数列的前项和．
9．（湖北·高考真题）设数列的前项和为，为等比数列，且
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列前项和.
10．（重庆·高考真题）设数列满足：，，．
(1)令，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分
求等差数列前n项和
等差数列通项公式的基本量计算
2024年全国甲卷，第18题,12分
错位相减法求和
利用an与sn关系求通项
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分
分组 (并项)-奇偶项求和
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
2023年全国甲卷（理科），
第17题,10分
错位相减法求和
利用与关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分
裂项相消法求和
利用与关系求通项或项
累乘法求数列通项
利用等差数列通项公式求数列中的项
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
裂项相消法求和
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
2021年新I卷，第16题,5分
错位相减法求和
数与式中的归纳推理
2021年新I卷，第17题,10分
分组 (并项)-奇偶项求和
由递推数列研究数列的有关性质
利用定义求等差数列通项公式
求等差数列前n项和
2021年全国乙卷（文科），
第19题,12分
错位相减法求和
等差中项的应用
等比数列通项公式
第04讲 数列求和综合
（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期综合）
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.熟练掌握裂项相消求和
2.熟练掌握错位相减求和
3.熟练掌握拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法，能综合解决数列的求和问题
4.熟练掌握数列中不等式的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常考查裂项相消求和、错位相减求和、奇偶并项求和，需重点综合复习
知识讲解
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，Sn＝na1；
②当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
考点一、公式法直接求和
1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
2．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
4．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.
1．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，．
(1)求的通项公式：
(2)记为的前n项和，若，求m．
【答案】(1)或．
(2)．
【分析】（1）由条件求出公比，即可求解通项公式；
（2）根据（1）的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解.
【详解】（1）等比数列中，，．
，解得，
当时，，
当时，，
的通项公式为，或．
（2）记为的前n项和．
当，时，，
由，得，，无解；
当，时，，
由，得，，
解得．
2．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由题意 (1)

由(1)(2)可得
所以
（2），，
，故为等差数列，
.
3．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.
(1)求，，并证明：数列是等差数列；
(2)求.
【答案】(1)，，证明见解析；
(2)420.
【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果.
（2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）当时，由条件得，所以.
当时，由条件得，所以.
因为，所以（），
两式相减得：，即，
所以，
从而数列为等差数列.
（2）由（1）知，
所以，
所以数列为等差数列，首项为，
所以，
所以.
4．（2024·辽宁·二模）设等差数列的前n项和为，公差为d，且.若等差数列，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，且，求n的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据题意，由可得，然后由列出方程，即可得到，再由等差数列的通项公式与前项和公式代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，由（1）中的结论可得，代入计算即可求解.
【详解】（1）因为，则，，，
由为等差数列，所以，即，化简可得，
因为，所以且，所以，
则，所以，
则.
（2）因为，则，由（1）可知，
则，
由可得，解得，且，
所以n的最大值为.
5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）两边同时取到数，构造等比数列求解即可；
（2）放缩法证明不等式即可.
【详解】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
（2）因为，
所以．
考点二、分组转化求和
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2．（2024·浙江台州·一模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义和求和公式求，进而可得结果；
（2）由（1）可得：，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）设的公比为，
因为，即，
且，可得，解得或（舍去）．
又因为，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
所以
，
所以.
1．（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由题意知，求出变量的值，进而得到通项；（2）由题意得到，分组求和即可得到结果.
【详解】（1）解：由题意知，
解得，，或，（舍去），
所以.
（2）解：，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：
.
2．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；
（2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【详解】（1）由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）由题意及（1），可得，
则
．
35．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将等式变形为（为非零常数）的形式，结合等比数列的定义即可证明；
（2）首先结合（1）的结论求出an的通项公式，再利用分组求和的方式，结合等差、等比数列的前n项和公式即可求解.
【详解】（1），，
，
．
又，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，
．
考点三、裂项相消求和
1．（全国·高考真题）设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
【答案】(1) ；(2).
【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.
2．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
3．（2024·湖北·模拟预测）设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）与的等差中项等于与的等比中项，推出并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式；
（2）利用（1）得到，并利用裂项相消法求和，进而得解.
【详解】（1）由题意，当时有，，
所以，解得：， ，
整理得，由此得，
所以，
整理得，由题意知 ，
所以，即数列为等差数列，其中，公差，
所以.
（2）令，
则，
故，
，
所以.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解；
（2）利用裂项相消法求出，进而可得出结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，即，解得，
所以，
所以数列的通项公式为；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化简得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
1．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明.
【详解】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和关系作差得，再求出首项结合等差数列通项公式即可得到答案；
（2）求出，代入化简得，最后利用裂项相消求和法即可.
【详解】（1）由，得①，
当时，，解得（负值舍去）.
当时，②，
①②，得，
化为，
因为，，解得，
所以数列是首项为3、公差为2的等差数列，
所以，即.
（2）由（1）知，所以，
从而，
则，，…，，
以上n个式子相加，得.
3．（2024·浙江丽水·二模）设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列求和公式及下标和性质得到和，从而得到或，再分别求出通项公式；
（2）依题意可得，求出，则，利用分组求和法及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）由，，得，解得，
由，，所以，所以或，
当时，此时；
当时，此时；
综上可得数列的通项公式为或；
（2）因为，所以，则，
则
，
所以
.
4．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与关系：求数列的通项公式；
（2）根据写出，利用裂项相消法求数列的前项和.
【详解】（1）当时，，即；
当时，，
即，
因为，所以，因此，
所以当时，，
即，
经检验，当时，也满足上式，所以.
（2）由（1）可得，，所以，
所以
.
考点四、错位相减求和
1．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
2．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
3．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
4．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用公式，已知求即可；
（2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解．
【详解】（1）①，且，
当时，代入①得；
当时，.②
①-②得，整理得，
因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以.
（2），，③
，④
③-④得，
所以，所以，且，化简得，
令，所以，
所以的最大值为，所以.
所以的取值范围为.
1．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用题给条件求得数列是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和．
【详解】（1），．
， ，，
数列是公比为3的等比数列．
，，．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①②得
，
．
2．（2024·贵州遵义·三模）已知数列的前n项和为，，且点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的关系消去易得，（），检验时满足，得等比数列，即可求得其通项；
（2）将（1）结论代入得，写出，利用错位相减法，即可求得.
【详解】（1）由题意，，当时，，
因 ①，当时， ②，
由①-② 可得，，即，
又因时，，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
（2）由（1）可得，则，
于是，， ③
， ④
由③-④：，
，
，
，
则得.
3．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
【答案】(1)，．
(2)证明见解析
【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）等比数列满足，，所以单调递增，
设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得，
解得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）可得，
所以
所以，
故，
又，，
即，
所以
．
考点五、奇偶并项求和
1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
2．（2024·河北保定·二模）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据的关系由：求解即可；
（2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可.
【详解】（1）当时，.
当时，，
当时，也符合.
综上，.
（2）由
则
，
故的前项和.
3．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据成等比数列求得，即可求得的通项公式.
（2）根据的通项公式求得，分奇偶项分别求出再求和，即可求得的前项和.
【详解】（1）因为，
所以，即，解得或，
又因为，所以，所以.
（2），所以，
所以
，
，
所以前项和.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足 当时，
(1)求和，并证明当为偶数时是等比数列；
(2)求
【答案】(1)3，7，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用递推公式易求，，利用递推关系可证结论；
（2）由（1）可得为偶数时，，当为奇数时，，
可求得，计算可求结论.
【详解】（1）因为 当时，，
所以，.
，，又，
当为偶数时，是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）知，，
设，则 为偶数时，
当为奇数时，
；
设，为奇数时，，
.
5．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
1．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
【答案】(1)数列的通项公式为；
(2)数列的前20项和为.
【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式；
（2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出.
【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，
所以，解得，
因为，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
故数列的通项公式为；
（2）由题知，
即
所以
，
故数列的前20项和为.
2．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知
则
所以数列的前项和为.
3．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【详解】（1）设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
4．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，.
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差求和公式以及等比求和公式，结合分组求解可求解，即可根据不等式求解.
【详解】（1）设数列的公差为d，
依题意，， 即，解得，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，所以，
，
恒成立，
令，
由，由于，所以.
所以
所以的最小值为4.
考点六、数列求和之不等式综合
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求的通项公式；
（2）可求得，进而可得结论.
【详解】（1）因为①，所以②，③，
由③得：，所以，
②-①得：，整理得：，
又因为各项均为正数，所以，
所以是公差的等差数列，．
（2）由（1），，
所以，
所以．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由是与的等差中项,可得，化简得，可得，作差可得，则可得的通项公式；
（2）由（1）得，，分组求，可得，可得，即可得证.
【详解】（1）由题意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是与的等差中项，得当时，
，解得，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
故.
（2）由（1）得，则
，
所以
，
所以，
所以.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项积．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，当时，，注意验证的情况；
（2）解法一：由对数运算性质得，即可求和；
解法二：由对数运算性质得，即可求和.
【详解】（1）当时，．
当时，，
当时不满足上式，所以．
（2）解法一：当时，．
当时，，
故
．
解法二：当时，．
当时，．
故
．
4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时求出，时，用，即可求解；
（2）由得出，由得，根据对勾函数的单调性及的值，即可求出得范围；
（3）由（1）得，则，根据放缩法得即可证明．
【详解】（1）当时，，
当时，，时成立，
所以．
（2）由得，，显然时，单调递增，，
由得，，
又，当且仅当时，即时等号成立，
因为，，且，，，
所以当时，，解得，
当时，，解得，
所以．
（3）证明：由（1）得，，
因为
所以
．
1．（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造等比数列数列即可求得通项公式；
（2）代入（1）中的通项公式可得，再根据，结合累加求和证明即可.
【详解】（1）由可得，则，即，
故是以为首项，为公比的等比数列.
故，则，.
（2）.
易得，故.
又，
故
.
综上有，即得证.
2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通项公式，再由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为．
由，得，
解得：，所以．
（2）由（1）知，，
即，，，……，，
利用累乘法可得：
，也符合上式，
所以．
3．（2024·安徽合肥·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由是公差为2的等差数列，求得，结合和的关系，即可求解；
（2）由（1）知，求得，结合关于单调递增，以及，即可求解．
【详解】（1）解：因为，所以，
又因为是公差为2的等差数列，所以，即，
当时，，
又由，适合上式，所以数列的通项公式为．
（2）证明：由（1）知，
所以，
又由，
所以关于单调递增，所以，
又因为，所以，所以．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求正整数的最大值.
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）利用通项与前n项和的关系先求，然后可得；
（2）利用裂项相消法求和，然后解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
，
两式相减，得，
，
显然也符合上式，
数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
，
解得.
正整数的最大值为15.
5．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造新数列，是等差数列，通过的通项公式得到的通项公式.
（2）由，得到，进而，裂项相消法求和.
【详解】（1）由知，若，则，若，则．
又，所以．
由，可得即（常数），
故是首项为2，公差为1的等差数列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
当时，，则．
所以
，
所以，
当时，也满足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得，，即可求解公比得解，
（2）利用错位相减法求和即可求解.
【详解】（1）由以及可得，
又，故，
因此公比，
故
（2），
则，
，
两式相减可得，
，
，
.
2．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据等比数列的定义，可先列出等比数列前三项，结合等比中项建立方程求解公比即可；
（2）由等比数列求和公式求得，然后结合裂项相消计算求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
结合，得数列的前三项分别为，
由题意，得，
所以，
解得或，
因为数列是单调递增的，所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
故
，
故数列的前项和.
3．（2024·山西吕梁·二模）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1).
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知列方程求出公差，可得数列通项；
（2）裂项相消法求和得出，由结果证明不等式.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
由题可得，，解得，
所以.
（2）证明：由（1）可得为正整数，
所以.
4．（2024·四川成都·三模）已知数列的前项和为，.
(1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由已知易得，进而易求数列的通项公式；
（2）求得，进而可得，可求.
【详解】（1）因为，
所以，（），
两式相减得，即，
所以数列是以4为公比的等比数列，
又，
所以.
（2）因为，
，
所以.
5．（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，是等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可得，，可得结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，是等差数列，则，
得，两边平方得，
整理得，两边再次平方得，
整理得，解得，
所以.
（2）由，得，则，
所以.
1．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，由等比数列定义可得是首项为2，公比为2的等比数列，即可得的通项公式，即可得；
（2）由错位相减法求和即可得.
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即；
（2）由（1）知．
设前项和为，
则，
，
两式相减可得
，
所以.
2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，为的前项和，为等差数列．
(1)求与的关系；
(2)若，为数列的前项和，求使得成立的的最大值．
【答案】(1)或
(2)见解析.
【分析】（1）由为等差数列可得，即可得到与的关系；
（2）由裂项相消法得到，再解不等式即可求得的最大值.
【详解】（1）因为为等差数列，所以，即
从而得到，化简得
所以或
（2）当，时，，，所以，又因为，所以不存在；
当，时，，，
所以，解得，又因为，
所以的最大值3.
3．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用计算整理可得数列是等差数列；
（2）先由（1）求出，然后通过并项求和以及错位相减求和法可得.
【详解】（1）①，
②，
①-②得，
整理得，
或，
又，得或（舍去），
若，则，得，舍去，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）可得，即，
，
，
令，
则，
两式相减得
，
，
.
4．（2023·湖南永州·二模）已知数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义即可求得答案；
（2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）当时，，
当时，，则，
则数列为为首项，公比为2的等比数列，
故；
（2）因为，
故数列的前项的和为：
.
5．（23-24高三上·江苏南通·期末）设的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，且的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据的关系即可作差证明是等差数列或者利用迭代法也可求解，
（2）根据基本不等式可得，即可求证，利用裂项求和法，即可求证.
【详解】（1）解：， 令得；
又当时，，
可得，即①；
（解法1）退位作差证明等差数列：②，
由①－②得，
即∴ 数列是等差数列.
由及可得公差， 可得.
（解法2）变形构造： 由，，可知，∴.
当时，；
，
∴， 当时也成立，所以.
（2）证明： ，
因为， 所以 ，
即.
又因为，
所以
，
因为，所以.
综上，.
6．（2023·山东潍坊·模拟预测）设数列的前项和为，已知．
(1)证明：为等比数列，求出的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据可推出，即得，即可证明为等比数列，由此可求得的表达式，继而求得的通项公式；
（2）由（1）的结果可得的表达式，利用错位相减法求数列的和，即可得答案.
【详解】（1）∵ ∴，
∴，
∴为等比数列；
∵，故的首项为，公比为2，
∴，则，
当时，，则，也满足此式，
∴；
（2）由（1）可得，则，
故，
两式相减得：，
故.
7．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；
(2)如果，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2).
【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得解；
（2）借助错位相减法计算即可得.
【详解】（1）当时，或，
因为，所以，
，
两式相减得，
因为，所以，
故是首项为1，公差为的等差数列，
；
（2）由（1）知，
，
，
则，
，
所以.
8．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列中，为的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，进而可求解通项，
（2）根据等比数列求和公式以及裂项求和，结合分组求和即可求解.
【详解】（1）设的公比为，
由且可得：当时，，
当时，，
解得或（舍去），故，
故
（2），
由于，
则数列的前项和
9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知等比数列的首项为，公比为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合条件求出公比，即可得解；
（2）由（1）得出，设出，前项和为，利用错位相减法求出，令，可知，进而即可判断得出.
【详解】（1）由已知可得，
因为，所以，
即，则，解得或（舍去），
所以，.
（2）由（1）得，
令，设前项和为，则，
所以，两式相减得，
所以，
令，则，
设前项和为，则，
所以.
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义：表示不超过x的最大整数．设，求数列的前114项和．
【答案】(1)
(2)671
【分析】（1）根据题设条件可推得与的关系式，再利用推得，从而得出等差数列，求出其通项；
（2）根据的规定，将数列的项根据取到的相同的值进行分类再依次求和即得.
【详解】（1）由数列为等差数列，且，，可得：数列的首项为：，公差为：，
故其通项为：，即：①，当时，②，
由①-②可得：，整理得：③，
当时，④，
由③-④可得：，
即：，故数列为等差数列，
因，其公差为，则.
（2）由（1）得：，而，易得，
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：，
故得：.
1．（全国·高考真题）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）由已知可得等差数列的公差为整数．由可得列出不等式组解得的范围，从而可确定整数的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）由已知先写出，
列出的表达式，
由于可分裂为，故采用裂项相消法求．
（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．
（2），
于是．
考点：1．等差数列通项公式；2．裂项法求数列的前项和．
2．（全国·高考真题）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝化简bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以数列的前n项和为
3．（广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足，
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切的正整数都有
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.
【详解】试题分析：（1）将代入方程 得到，结合题中条件（数列 的各项均为正数，得到）求出 的值，从而得到的值；（2）由十字相乘法结合 得到的表达式，然后在 的情况下，由求出数列 的表达式，并验证是否满足该表达式，从而得到数列的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到
，于是得到 ，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持不放缩，在 的条件下放缩为
，最后在 和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.
（1）令得： ，即，，
，，即 ；
（2）由，得 ，
， ，从而，，
所以当时，，
又，；
（3）解法一：当时，，
.
证法二：当时，成立，
当时，，
则
.
考点：本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.
4．（山东·高考真题）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.
试题解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得， ，两式作差，得所以．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
5．（广东·高考真题）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．
(1) 证明：；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有．
【答案】(1)见解析 (2) (3) 见解析
【详解】试题分析：（1）令，，即可证明；（2）由得到，解得，再进而验证，即可求解数列的通项公式；（3）对于一切正整数，有，即可证明结论．
试题解析：（1）令，，∴．
（2），①
时，，②
①②：，整理得，
，∴，即，解得，
，，又，可得，
综上：．
（3）．
考点：数列的综合应用．
6．（山东·高考真题）设等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足 ，求的前项和.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由基本量法列方程组解得，得通项公式；
（2）求出通项公式，用错位相减法求和．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为.
由，得，
解得，
所以；
（2）由可得
当时，，
当时，
所以，，
又，
两式相减得
所以
7．（浙江·高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由题意可得：，解得：，
则数列的通项公式为 .
其前n项和.
则成等比数列，即：
，
据此有：
，
故.
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．（全国·高考真题）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
（1）求、的通项公式：
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）；
【分析】（1）利用等差等比数列通项公式，结合已知条件可得，进而即可求得公差为、公比为，写出通项公式即可；
（2）写出新数列的通项公式，利用错位相减求数列前n项和，再结合数列前n项和即可求；
【详解】（1）令等差数列的公差为，等比数列的公比为且，
则由，知：
，解之得；
∴，
（2）由（1）知：；
∴；
，
两式相减得
，
.
【点睛】本题考查了等差、等比数列的通项公式，以及错位相减法求n项和，考查计算求解能力，属于中档题.
9．（湖北·高考真题）设数列的前项和为，为等比数列，且
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用的关系求得，根据等比数列的基本量计算，求得；
（2）根据（1）中所求，利用错位相减法即可求得结果.
【详解】（1）对数列，由，，
当时，，也满足，
故；
对数列，设其公比为，，
由可得，解得，
故.
（2）因为，
故
，
故，
，
.
10．（重庆·高考真题）设数列满足：，，．
(1)令，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）推导出，利用等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求出等比数列的通项公式，利用累加法可求得数列，再利用分组求和法与错位相减法可求得.
【详解】（1）解：由题意可知，对任意的，，即，
且，所以数列是等比数列，且该数列的首项和公比均为.
（2）解：由（1）可知，
当时，
，
也满足，故对任意的，，
所以，，
设数列的前项和为，
则，
，
上述两个等式作差可得
，
所以，，
所以，
.
因此，
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分
求等差数列前n项和
等差数列通项公式的基本量计算
2024年全国甲卷，第18题,12分
错位相减法求和
利用an与sn关系求通项
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分
分组 (并项)-奇偶项求和
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
2023年全国甲卷（理科），
第17题,10分
错位相减法求和
利用与关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分
裂项相消法求和
利用与关系求通项或项
累乘法求数列通项
利用等差数列通项公式求数列中的项
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
裂项相消法求和
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
2021年新I卷，第16题,5分
错位相减法求和
数与式中的归纳推理
2021年新I卷，第17题,10分
分组 (并项)-奇偶项求和
由递推数列研究数列的有关性质
利用定义求等差数列通项公式
求等差数列前n项和
2021年全国乙卷（文科），
第19题,12分
错位相减法求和
等差中项的应用
等比数列通项公式