2025高考数学专项讲义第02讲排列组合(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第02讲排列组合(学生版+解析)，共67页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握排列与组合的定义
2.掌握排列数与组合数的性质，会计算排列数与组合数
3.熟练掌握排列组合的解题方法
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习
知识讲解
1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
求解排列应用问题方法汇总
考点一、简单排列之排列数计算
1．（2024·福建漳州·模拟预测）（ ）
A．65B．160C．165D．210
2．已知，则（ ）
A．11B．12C．13D．14
1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）在中不重复地选取4个数字，共能组成（ ）个不同的四位数.
A．96B．18C．120D．84
2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）下列数中，与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
考点二、简单组合之组合数计算
1．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知，那么（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（23-24高二下·河北唐山·期中）从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）
A．12B．18C．30D．60
3．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）化简式子：的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．83B．119C．164D．219
3．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
考点三、先选后排之排列组合综合
1．（山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
2．（海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
1．（2024·陕西铜川·三模）有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有 种.
2．（23-24高二下·河南·期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ）
A．14种B．18种C．12种D．7种
考点四、捆绑法
1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．120种
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种B．120种C．192种D．240种
1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（ ）
A．240B．120C．96D．60
2．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（ ）个．（用数字作答）
A．128B．256C．576D．684
考点五、插空法
1．（23-24高三上·浙江温州·期末）6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（ ）
A．72种B．144种C．216种D．256种
2．（22-23高三上·贵州毕节·阶段练习）由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有 种.
3．（2024·河北邯郸·二模）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ）
A．12B．18C．20D．60．
1．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ）
A．6B．12C．18D．36
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672B．864C．936D．1056
考点六、特殊元素法
1．（2024·辽宁·三模）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国队将派甲、乙、丙、丁4名男子短跑运动员参加男子接力比赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，参赛方法共有（ ）种
A．10B．12C．14D．18
2．（2024·全国·模拟预测）某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A．36种B．24种C．18种D．12种
1．（23-24高二下·重庆渝北·期中）将4个不同的小球放入编号为的三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．18B．24C．48D．72
2．（23-24高二下·江苏南通·期中）文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（ ）
A．720B．1440C．2400D．2880
考点七、特殊位置法
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中间，则不同的站法种数为（ ）
A．32B．36C．40D．42
2．（23-24高三上·湖南衡阳·期末）某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（ ）
A．96种B．84种C．72种D．60种
3．（2023·北京·高三统考）某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种B．960种C．1008种D．1108种
1．（23-24高三上·山西·期末）某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种B．32种C．24种D．16种
2．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114B．120C．126D．132
3．（2023·湖南长沙·高三校考阶段练习）某小学班级星期一要排5节课,语文、数学、英语、音乐、体育各1节,考虑到学生学习的效果,第一节不排数学,语文和英语相邻,且音乐和体育不相邻,则不同的排课方式有( )
A．种B．种C．种D．种
考点八、间接法
1．（2024高三下·全国·专题练习）某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游，若最后一个目的城市不是喀什，则该人旅游完这五个城市的所有可能顺序共有（ ）
A．60种B．72种C．84种D．96种
2．（2024·四川·模拟预测）某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为的子任务的分配方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（ ）
A．2400种B．3600种C．2880种D．4220种
1．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）种.
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区呼伦贝尔市正式开幕．要从4名男志愿者、2名女志愿者中随机选派4人参加冰球比赛服务，如果要求至少有1名女志愿者，那么不同的选派方案种数为（ ）
A．14B．12C．8D．6
3．（2022·河北·高三校考）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．484B．472
C．252D．232
4．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ）
A．44B．46C．48D．54
考点九、隔板法
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（ ）
A．70B．99C．110D．165
2．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220B．120C．84D．24
3．（24-25高二上·上海·假期作业）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
1．（23-24高二下·四川内江·期中）学校将个三好学生名额分配给个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有 种.
2．（24-25高二上·上海·假期作业）求方程的非负整数解的个数.
3．（23-24高二下·山西临汾·期中）将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A．56B．126C．210D．462
考点十、定序倍缩法
1．（2024·重庆·模拟预测）有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有 种不同的站法．（用数字作答）
2．（24-25高三上·安徽·开学考试）用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（ ）
A．B．C．D．
1．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种．
2．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答）
考点十一、平均分组
1．（2023高三·全国·专题练习）将8本不同的书，分成4堆，每堆两本，则不同分法的种数是 ．
2．3位男生、3位女生平均分成三组，恰好每组都有一位男生和一位女生的概率是 .
1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有 .
2．（23-24高三上·广东广州·期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
考点十二、部分平均分组
1．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）老师有7本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种B．168种C．490种D．360种
2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．45种B．90种C．150种D．240种
1．（22-23高三下·河北·阶段练习）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．65B．1560C．2640D．4560
2．（2023·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
考点十三、不平均分组
1．小明将个不同时期的生肖纪念币分成份进行观赏，每份至少个，且每份数量不同，则不同的分配方法有 种．
2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有 种.
1．（23-24高二下·河南商丘·期末）某职业技术学校组织6名学生到3家工厂实习，每家工厂至少去1人，至多去3人，且每名学生只能去1家工厂，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答）
2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ）
A．72种B．114种C．120种D．144种
考点十四、多排问题
1．6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种．
2．（2023·云南·模拟预测）有7个人排成前后两排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同学站在前排，乙同学站在后排的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．有8名同学排成前后两排，每排4人，如果甲乙两同学必须排在前排，丙同学必须排在后排，那么不同的排法有 种(用数字作答).
1．把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为( )
A．B．C．D．
2．（22-23高三下·河南商丘·阶段练习）六位身高各不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各站三人，则最高的与最矮的在同一排的概率是 ．
3．现有9位身高各异的同学拍照留念，分成前后两排，前排4人，后排5人，要求每排同学的身高从中间到两边依次递减，则不同的排队方式有 种．
考点十五、环排问题
1．（2023·高三课时练习）8人围桌而坐，共有多少种坐法?
2．（2023·全国·高三专题练习）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，不同的排法种数为 .
1．（2023·全国·高三专题练习）5个学生围桌而坐，共有多少种排法？
3 盆红花 5 盆黄花围成花环, 有种不同的排法？
考点十六、涂色问题
1．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案)
2．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 .
3．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.
①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法.
②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法.
1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.

A．120B．360C．420D．480
2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（ ）

A．156B．144C．96D．78
3．（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A．3125B．1000C．1040D．1020
1．（2024·江西·模拟预测）将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东·二模）8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（ ）
A．28B．2520C．105D．128
3．（2024·河南周口·模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（ ）
A．243种B．162种C．72种D．36种
4．（2024·新疆喀什·三模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为 ．
5．（2024·河南濮阳·模拟预测）某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ）
A．18B．24C．36D．48
6．（2024·海南海口·模拟预测）海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（ ）
A．24种B．48种C．98种D．120种
7．（2018·广东深圳·一模）某次文艺汇演，要将这六个不同节目编排成节目单．如果两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
8．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120种B．24种C．36种D．12种
9．（2024·青海海西·模拟预测）现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·重庆九龙坡·三模）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A．240B．480C．384D．1440
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（ ）种不同的测试方法．
A．114B．90C．106D．128
3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32B．24C．18D．12
4．（2024·陕西西安·模拟预测）公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字作答） ．
5．（2024·辽宁大连·二模）第二十一届大连国际徒步大会即将召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派方案共有 种.
6．（2024·广西贵港·模拟预测）2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（ ）
A．732种B．2260种C．4320种D．8640种
7．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．192种B．252种C．268种D．360种
8．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44种B．48种C．72种D．80种
9．（2023·陕西宝鸡·一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有 种.
10．（2024·全国·模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（ ）
A．20B．40C．66D．80
11．（2024·江西·模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
12．（2024·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A．B．C．D．
1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
3．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
4．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
5．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
6．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
8．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
9．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
11．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
12．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
13．（2021·全国·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
14．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
（2020·全国·高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第14题,6分
全排列问题
写出基本事件
分步乘法计数原理
2023年新I卷，第13题,5分
实际问题中的组合计数问题
分类加法计数原理
2023年新Ⅱ卷，第3题,5分
实际问题中的组合计数问题
分步乘法计数原理及简单应用
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
2023年全国甲卷（理），
第9题,5分
排列数的计算
分类加法计数原理
2023年全国乙卷（理），
第7题,5分
排列数的计算
实际问题中的组合计数问题
分步乘法计数原理及简单应用
2022年新I卷，第5题,5分
实际问题中的组合计数问题
计算古典概型问题的概率
2022年新Ⅱ卷，第5题,5分
元素(位置)有限制的排列问题
相邻问题的排列问题
无
2022年全国甲卷（理），
第15题,5分
组合计数问题
计算古典概型问题的概率
2022年全国乙卷（理），
第13题,5分
实际问题中的组合计数问题
计算古典概型问题的概率
2021年全国甲卷（理），
第10题,5分
不相邻排列问题
计算古典概型问题的概率
2021年全国乙卷（理），
第6题,5分
排列组合综合
无
2020年新I卷，第3题,5分
排列组合综合
无
2020年新Ⅱ卷，第6题,5分
分组分配问题
无
2020年全国乙卷（理），
第14题,5分
相邻问题的排列问题
分步乘法计数原理及简单应用
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq \\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法种eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
间接法
正难则反、等价转化的方法
分组分配
平均分组、部分平均分组
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法
将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题
(1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为
(2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为
(3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
第02讲 排列组合
（16类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握排列与组合的定义
2.掌握排列数与组合数的性质，会计算排列数与组合数
3.熟练掌握排列组合的解题方法
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习
知识讲解
1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
求解排列应用问题方法汇总
考点一、简单排列之排列数计算
1．（2024·福建漳州·模拟预测）（ ）
A．65B．160C．165D．210
【答案】C
【分析】根据排列数及组合数公式计算可得.
【详解】.
故选：C
2．已知，则（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】直接根据排列数的性质化简求解即可.
【详解】因为，
则，
整理可得，
解得，经检验，满足题意．
故选：C.
1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）在中不重复地选取4个数字，共能组成（ ）个不同的四位数.
A．96B．18C．120D．84
【答案】A
【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可.
【详解】四位数首位不能为零，
故为种不同的四位数，
故选：A.
2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）下列数中，与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用排列数和组合数公式计算即可.
【详解】
对于A，；
对于B,
对于C, ，
对于D，，
故选：B
考点二、简单组合之组合数计算
1．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知，那么（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据组合数的性质和计算公式，直接计算即可求解.
【详解】由，得，即，
整理得，解得或（舍去）.
故选：C
2．（23-24高二下·河北唐山·期中）从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）
A．12B．18C．30D．60
【答案】C
【分析】根据题意分“1名医生，2名护士”和“2名医生，1名护士”两种情况，结合组合数运算求解.
【详解】若选出3人有1名医生，2名护士，则不同的选法种数为；
若选出3人有2名医生，1名护士，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为.
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
4．（海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）化简式子：的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题将复杂的组合问题转化为“从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和”模型，等价于“从装有球中取出个球的不同取法数”,即可解决.
【详解】表示：
从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和.
又从装有球中取出个球的不同取法数.
所以，
所以
故选：C.
2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．83B．119C．164D．219
【答案】D
【分析】根据组合数的性质求出m的值，再利用组合数的性质，即可求得答案.
【详解】由于，故，
则
，
故选：D
3．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
考点三、先选后排之排列组合综合
1．（山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
2．（海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
1．（2024·陕西铜川·三模）有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有 种.
【答案】240
【分析】先从5名学生中选2人组成一组，再将4组学生分配到4个景点.
【详解】先从5名学生中选2人组成一组，有种方法，
然后将4组学生分配到4个景点，有种方法，
由分步计数原理知共有种不同的游玩方式.
故答案为：240.
2．（23-24高二下·河南·期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ）
A．14种B．18种C．12种D．7种
【答案】A
【分析】先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，两个选法数相减可得至少有1名女厨师被选中的方法数.
【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种），
故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）.
故选：A.
考点四、捆绑法
1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．120种
【答案】C
【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得.
【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法，
再对甲乙“松绑”，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种.
故选：C.
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种B．120种C．192种D．240种
【答案】C
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，
故不同的排法有种.
故选：C.
1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（ ）
A．240B．120C．96D．60
【答案】A
【分析】利用捆绑法求得正确答案.
【详解】将捆绑在一起，然后进行全排列，
故共有种排法.
故选：A
2．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可.
【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法，
然后我们把他们捆绑为一个整体，
再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法，
所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确.
故选：D
3．（24-25高三·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（ ）个．（用数字作答）
A．128B．256C．576D．684
【答案】C
【分析】利用捆绑法、插空法可得答案.
【详解】1和2，3与4，5与6，分别捆绑在一起，看作三个元素进行排列，
7与8利用插空法，可得
故选：C.
考点五、插空法
1．（23-24高三上·浙江温州·期末）6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（ ）
A．72种B．144种C．216种D．256种
【答案】B
【分析】要使元素不相邻，则用插空法，要使元素相邻，则运用捆绑法，分步完成即得.
【详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空，
在其中选2个给甲和乙，有种方法；
再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法；
最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种.
故选：B.
2．（22-23高三上·贵州毕节·阶段练习）由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有 种.
【答案】480
【分析】由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果
【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，
4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，
由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，
故答案为：480
3．（2024·河北邯郸·二模）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ）
A．12B．18C．20D．60．
【答案】C
【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解.
【详解】根据题意，可分为两类：
①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有种方法；
②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有种方法，
由分类计数原理得，共有种不同的差法.
故选：C.
1．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ）
A．6B．12C．18D．36
【答案】B
【分析】根据插空法即可求解.
【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法，
将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法，
故总的站法有.
故选：B
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先计算6本相同的数学书和2本相同的语文书摆放的种数，再用插空法计算2本语文书不相邻的摆放种数，用古典概型概率的计算公式计算即可.
【详解】依题意，将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，
即从8个空位中选2个位置放语文书，剩余6个位置放数学书，摆放种数为：种；
利用插空法，6本数学书之间共有7个位置可以放2本语文书，摆放种数为：种，
由古典概型概率的计算公式得：.
故选：A.
3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672B．864C．936D．1056
【答案】D
【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可.
【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有种站排方式；

当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式；

故总共有种站排方式.
故选：D．
考点六、特殊元素法
1．（2024·辽宁·三模）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国队将派甲、乙、丙、丁4名男子短跑运动员参加男子接力比赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，参赛方法共有（ ）种
A．10B．12C．14D．18
【答案】C
【分析】先分两类，一类是甲跑第四棒，另一类是甲跑第二或第三棒，分类求解即可得到结果.
【详解】当甲跑第四棒时，参赛方法有：种；
当甲跑第二或第三棒时，参赛方法有：种；
显然，参赛方法共有种.
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A．36种B．24种C．18种D．12种
【答案】C
【分析】分教师甲与2名学生去北京与教师甲与另一名教师及2名学生去北京两种情况分类讨论可求分配方案的方法数.
【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）；
当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种），
综上，分配方案共有（种）.
故选：C.
1．（23-24高二下·重庆渝北·期中）将4个不同的小球放入编号为的三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．18B．24C．48D．72
【答案】B
【分析】此题利用分步计数原理，按照优先特殊的盒，分三步就可以解决此问题.
【详解】第一步：给盒子中只放一个小球有4种放法；
第二步：给剩下的3个球分成两组有种方法；
第三步：给分成两组的球排列到两个盒子中有种方法；
所以利用分步计数原理可知，满足题意的不同的放法数为：，
故选：
2．（23-24高二下·江苏南通·期中）文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（ ）
A．720B．1440C．2400D．2880
【答案】B
【分析】先将学生的节目全排列，然后对教师节目进行插空即可得解.
【详解】由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法，
然后对教师节目进行插空有种排法，
所以满足题意的排法种数为种.
故选：B.
考点七、特殊位置法
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中间，则不同的站法种数为（ ）
A．32B．36C．40D．42
【答案】C
【分析】先安排前排，再安排后排，利用分步乘法计数原理进行求解.
【详解】先排前排，有种站法，后排3人中身高最高的站中间，则两边的人有种站法，
则有种站法．
故选：C
2．（23-24高三上·湖南衡阳·期末）某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（ ）
A．96种B．84种C．72种D．60种
【答案】A
【分析】根据分步乘法原理先考虑第一站，再考虑余下的三站得解.
【详解】因为第一站不去株洲，所以第一站可以从长沙､衡阳､郴州､益阳这4个城市中选择1个，共有4种选择，
余下的三站可以从剩下的4个城市中选择3个，所以该旅游团四站的城市安排共有种.
故选：A.
3．（2023·北京·高三统考）某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种B．960种C．1008种D．1108种
【答案】C
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算甲乙相邻的排法种数，进而计算其中“甲乙相邻且丙排在初一”、“甲乙相邻且丁排在初七”和“甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七”的排法种数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，用间接法分析：
甲乙相邻，即甲乙排在相邻的两天，有＝1440种情况，
其中，甲乙相邻且丙排在初一的排法有＝240种，甲乙相邻且丁排在初七排法有＝240种，甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七排法有＝48种，
则不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008种，
故选：C．
1．（23-24高三上·山西·期末）某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种B．32种C．24种D．16种
【答案】B
【分析】由排列组合以及分类分步计数原理即可得解.
【详解】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法.
故选：B.
2．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114B．120C．126D．132
【答案】A
【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.
【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，
所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.
第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法；
第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法；
第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法.
故选：A
3．（2023·湖南长沙·高三校考阶段练习）某小学班级星期一要排5节课,语文、数学、英语、音乐、体育各1节,考虑到学生学习的效果,第一节不排数学,语文和英语相邻,且音乐和体育不相邻,则不同的排课方式有( )
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】利用间接法,先求出第一节没有要求的排列的种数,再排除第一节排数学的种数,即可求得答案.
【详解】把语文和英语看作一个复合元素和数学全排,形成了三个空,把音乐和体育插入到其中个空中.
有种,
又第节排数学,第节只能排语文和英语,第节只能排音乐和体育,
有种,
第节不排数学,语文和英语相邻.且音乐和体育不相邻,
不同的排课方式有种,
故选：C.
【点睛】本题考查组合计数问题的求解.对于限制条件较多的组合计数问题,通常采用间接法来进行求解,易错点是忽略限制条件的彼此影响,造成求解错误,考查了分析能力,属于中档题.
考点八、间接法
1．（2024高三下·全国·专题练习）某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游，若最后一个目的城市不是喀什，则该人旅游完这五个城市的所有可能顺序共有（ ）
A．60种B．72种C．84种D．96种
【答案】D
【分析】根据给定条件，不考虑限制条件的排列数，去掉最后目的地是喀什的排列数即可.
【详解】最后目的地没有限制条件的情况有种，而最后一个目的城市是喀什的情况有种，
所以最后一个目的城市不是喀什的情况有（种）．
故选：D
2．（2024·四川·模拟预测）某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为的子任务的分配方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】C
【分析】可以考虑用间接法先不考虑限制求出共有种方法，进一步由分类原理即可求解.
【详解】不考虑限制条件则共有种方法，
若甲分到编号子任务，有两种情况：
甲分到一个子任务（即只有编号子任务），此时共有种方法；
甲分到两个子任务（即包含编号子任务），此时共有种方法；
则所求的分配方法共有种.
故选：C.
3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（ ）
A．2400种B．3600种C．2880种D．4220种
【答案】B
【分析】先用捆绑法排列（女生不需要内部排列），然后利用间接法再分配2个道具．
【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为，
故选：B．
1．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）种.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种.
【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种，
然后加上甲在中间和乙在最左端的有种，
则共有种排法.
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区呼伦贝尔市正式开幕．要从4名男志愿者、2名女志愿者中随机选派4人参加冰球比赛服务，如果要求至少有1名女志愿者，那么不同的选派方案种数为（ ）
A．14B．12C．8D．6
【答案】A
【分析】根据计数原理结合排列组合一是直接分类，即先把所求事件分成若干类，然后计算出每类的方法数，最后求和；二是排除法，即用所有的方法数减去不符合条件的方法数．
【详解】解法一：当选派1名女志愿者、3名男志愿者时，有种不同的选派方案；
当选派2名女志愿者、2名男志愿者时，有种不同的选派方案．
故至少有1名女志愿者的不同的选派方案种数为．
解法二：从6名志愿者中随机选派4人的不同的选派方案种数为，
其中没有女志愿者的不同的选派方案种数为，
故至少有1名女志愿者的不同的选派方案种数为．
故选：A．
3．（2022·河北·高三校考）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．484B．472
C．252D．232
【答案】B
【分析】用间接法分析.先求出“从16张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案.
【详解】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，
如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，
如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，
故所求的取法共有种.
故选：B.
4．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ）
A．44B．46C．48D．54
【答案】B
【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3种情况，分类讨论结合组合数分析求解；解法二：利用间接法，根据题意先排甲不排首尾，再排除不符合题意的情况，结合组合数分析求解.
【详解】解法一：多重限制的排列问题：
甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，
甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：
①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有；
②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有；
③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有；
综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种.
解法二：间接法：
甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况；
但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况；
从而该5名同学可能的名次排情况种数为种.
故选：B.
考点九、隔板法
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（ ）
A．70B．99C．110D．165
【答案】D
【分析】相同元素的分配问题用“隔板法”即可.
【详解】当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法；
当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法；
当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法；
当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法；
因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有：
故选：D.
2．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220B．120C．84D．24
【答案】A
【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.
【详解】依题意，可知为非负整数，
因为，
所以，
从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球，
一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.
故选：A
3．（24-25高二上·上海·假期作业）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
【答案】
【分析】利用挡板法即可由组合数求解.
【详解】因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
1．（23-24高二下·四川内江·期中）学校将个三好学生名额分配给个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有 种.
【答案】
【分析】利用隔板法计算可得.
【详解】将个三好学生名额看做个完全一样的小球，将小球排成一排，
从个空中插入个隔板，将小球分成组，每组小球的个数对应班级的三好学生名额，
故分配方案共有（种）.
故答案为：
2．（24-25高二上·上海·假期作业）求方程的非负整数解的个数.
【答案】66
【分析】转化为把13个相同小球放在三个不同的盒子里，利用隔板法，即可求得答案.
【详解】可将问题转化为把13个相同小球放入三个不同的箱子中，
由于箱子中的球可以为0，可知不满足隔板法的使用条件，
因此我们可以选择添加三个球，即给箱子中各添加一个球，
这样就将问题转化为把13个相同小球放入三个不同箱子中，且每个箱子中至少有一个球，
即将原问题转化为求的正整数解的个数，
因此可得方程的非负整数解的个数是.
所以方程的非负整数解的个数为.
3．（23-24高二下·山西临汾·期中）将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A．56B．126C．210D．462
【答案】B
【分析】根据题意，结合“隔板法”，即可求解.
【详解】将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，
每个班至少有1个名额的分法，
类比于用5个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成6堆，
由于 10 个小球中间共有9个空隙，
因此共有 种不同的分法.
故选：B
考点十、定序倍缩法
1．（2024·重庆·模拟预测）有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有 种不同的站法．（用数字作答）
【答案】56
【分析】利用排列中的定序问题的处理方法求解．
【详解】因为共8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变，
所以共有种不同站法，
故答案为：56．
2．（24-25高三上·安徽·开学考试）用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得组成没有重复数字的五位数有，根据定序法可得符合题意的五位数个数，结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：组成没有重复数字的五位数有个；
若这个五位数中数字按从小到大的顺序，所以符合题意的五位数有个，
所以所求的概率为.
故选：C.
1．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种．
【答案】30240
【分析】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序男生人数的全排列.
【详解】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为，
故有种排法．
故答案为：30240.
2．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答）
【答案】
【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果.
【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，
然后要求在的左边，在的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故答案为：.
考点十一、平均分组
1．（2023高三·全国·专题练习）将8本不同的书，分成4堆，每堆两本，则不同分法的种数是 ．
【答案】105
【分析】根据分配原则，先把书分成有顺序的4堆，再根据这四堆书并无实际的顺序，进行去序．
【详解】先把书分成有顺序的4堆，第一堆、第二堆、第三堆、第四堆均为两本，则有（种）情况.
由于这四堆书每堆都为2本，并无实际的顺序，因此需要除以来去序．
综上所述，不同分法的种数为．
故答案为:105.
2．3位男生、3位女生平均分成三组，恰好每组都有一位男生和一位女生的概率是 .
【答案】/0.4
【分析】求出3位男生、3位女生平均分成三组的情况数和恰好每组都有一位男生和一位女生的情况数，得到概率.
【详解】3位男生、3位女生平均分成三组，共有种情况，
其中恰好每组都有一位男生和一位女生的情况有种，
故恰好每组都有一位男生和一位女生的概率为.
故答案为：
1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有 .
【答案】18
【分析】按照分步计数原理并利用平均分组后再分配的计算方法求解可得.
【详解】根据题意，安排6位同学到社区参加义务劳动可分成两步：
第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙一组，其余4位同学平均分组，
则有种分组方法；
第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况；
则由分步计数原理可得，
甲、乙到同一社区的不同安排方案共有种不同的安排方法.
故答案为：18.
2．（23-24高三上·广东广州·期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
【答案】
【分析】根先将四人平均分成两组，再安排服务工作共有种，再根据全排求甲、乙安排一起服务的种数，结合古典概型即可求解.
【详解】将四人分成两人两组共有种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有种，
又甲、乙安排在一起共有种，
所以甲、乙安排在一起的概率为，
故答案为：.
考点十二、部分平均分组
1．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）老师有7本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种B．168种C．490种D．360种
【答案】C
【分析】剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况，利用排列组合求出每种情况下的情况数，相加后得到答案.
【详解】剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况，
安排时，共有种，
安排时，共有种，
综上，甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有种.
故选：C
2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．45种B．90种C．150种D．240种
【答案】C
【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可.
【详解】5名学生分成三组的情况有或，
当为时，则不同的安排方法有种，
当为时，则不同的安排方法有种，
所以，一共有种方法.
故选：C.
1．（22-23高三下·河北·阶段练习）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．65B．1560C．2640D．4560
【答案】B
【分析】先将6名大学生分四组，再将四组对应到四个学校，计算可得最后方案种数.
【详解】分两种情况：
把6名大学生分为3，1，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校，
有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法；
把6名大学生分为2，2，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校，
有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法；
综上，不同的分配方案共有种.
故选：B.
2．（2023·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
【答案】
【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.
【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，
人数组合是时，共有种情况，
其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种；
人数组合是时，共有种情况，
其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种，
所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.
故答案为：.
考点十三、不平均分组
1．小明将个不同时期的生肖纪念币分成份进行观赏，每份至少个，且每份数量不同，则不同的分配方法有 种．
【答案】
【分析】满足条件的分类方式有，分别求出其方法总数，由分类加法计数原理即可得出答案.
【详解】由题可得，满足条件的分类方式有．
由分类加法计数原理可得，满足要求的分配方法有种．
故答案为：.
2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有 种.
【答案】30
【分析】分只有同学A到甲学校、除同学A外还有一名同学去甲学校两种情况即可.
【详解】若只有同学A到甲学校，则有种可能，
若除同学A外还有一名同学去甲学校，则有种可能，
故共有种可能.
故答案为：30.
1．（23-24高二下·河南商丘·期末）某职业技术学校组织6名学生到3家工厂实习，每家工厂至少去1人，至多去3人，且每名学生只能去1家工厂，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答）
【答案】
【分析】先将人按要求分成三组，再分配到三个厂去即可.
【详解】由题意，人分成组有和两种分法，
当按分组时，则不同的分配方法有种，
当按分组时，则不同的分配方法有种，
综上，不同的分配方法共有种.
故答案为：.
2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ）
A．72种B．114种C．120种D．144种
【答案】B
【分析】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种情况分别用分组分配方法求解即可.
【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班，
可分为与两种情况，
①：；②：，共有150种情况．
若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况，
①都在2人组：；②都在3人组：，
考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法．
故选：B
考点十四、多排问题
1．6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种．
【答案】720
【分析】可以分三步：前、中、后三排分别站2人即可得，也只可以相当于6人全排列．
【详解】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（种）．
故答案为：720
2．（2023·云南·模拟预测）有7个人排成前后两排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同学站在前排，乙同学站在后排的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】总事件数看成7人站一排, 考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排,根据古典概型的计算公式求解即可.
【详解】先计算总事件数，可以看成7人站一排有种.
现在考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排，乙站在后排有种，
概率为.
故选:D.
3．有8名同学排成前后两排，每排4人，如果甲乙两同学必须排在前排，丙同学必须排在后排，那么不同的排法有 种(用数字作答).
【答案】
【分析】因为属于有限制条件的排列问题，所以优先考虑有限制条件的元素，可分成三步去做，第一步，排甲乙，第二步，排丙，第三步，排其他人，把每步的方法数，求出后，再相乘即可．
【详解】解：可分成3步，
第一步，先排甲乙
∵甲、乙两同学必须排在前排，有A42＝12种排法
第二步，排丙
∵丙同学必须排在后排，有A41＝4种排法
第三步，排其他同学
没有限制，有A55＝120种排法
最后，三步的方法数相乘，有12×4×120＝5760中不同的排法．
故答案为5760
【点睛】本题主要考查了有限制的排列问题，做题时应优先考虑有限制的元素．
1．把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】多排问题单排考虑，全排列即可．
【详解】把座位从1到15标上号，问题就转化为15人坐在15个座位上，共有种．
【点睛】一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究．
2．（22-23高三下·河南商丘·阶段练习）六位身高各不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各站三人，则最高的与最矮的在同一排的概率是 ．
【答案】/
【分析】先求出六位同学前后两排各三人排列的方法数，再求出最高与最矮的同学在同一排的方法数，利用古典概型概率公式求出概率即可．
【详解】六位身高各不相同的同学前后两排各三人排列的方法数为，
其中最高的与最矮的在同一排的方法总数为，
则所求概率，
故答案为：．
3．现有9位身高各异的同学拍照留念，分成前后两排，前排4人，后排5人，要求每排同学的身高从中间到两边依次递减，则不同的排队方式有 种．
【答案】4536
【分析】第一步先选4人排在前排，其余5人排后排，第二步前排4人中先选2人排在左边2个位置，其余2人排在右边2个位置，第三步后排5人中最高的1人排在中间，然后从剩下的4人中选2人排在左边2个位置，其余2人排在右边2个位置，由分步乘法原理可得.
【详解】由题意，可分步完成排除这件事：第一步选4人排在前排，剩下5人在后排，第二步前排4人中选2人排在左边2个位置，剩下2人在右边2个位置，第三步后排5人中最高1人站中间，然后选2人排在左边2个位置，剩下2人在右边2个位置，
∴不同的排队方式有（种）．
【点睛】本题考查排列组合的应用，考查分步乘法原理，解题关键确定完成排除这个事件的方法，是分类完成还是分步完成.
考点十五、环排问题
1．（2023·高三课时练习）8人围桌而坐，共有多少种坐法?
【答案】7! (种)坐法
【分析】圆桌坐法没有首位，因此先故定1人为起点，再进行排列.
【详解】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，
所以固定1人，并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有 (种)坐法，
即(8-1)! =7! (种)坐法．
2．（2023·全国·高三专题练习）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，不同的排法种数为 .
【答案】240
【分析】将甲、乙视为一个整体，根据圆排列的方法确定其排列数，再排甲、乙即可.
【详解】将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，
甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）.
故答案为：.
1．（2023·全国·高三专题练习）5个学生围桌而坐，共有多少种排法？
【答案】24
【分析】根据圆桌的特点，没有首尾之分，因此要固定一人位置， 再排其余4人，求出答案即可．
【详解】由围桌坐成圆形，没有首位之分，
所以固定其中任意一人，并从此位置把圆展开成一条直线，
只要让其余4人进行全排列，即有种排法．
3 盆红花 5 盆黄花围成花环, 有种不同的排法？
解:
故有
考点十六、涂色问题
1．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案)
【答案】72
【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论.
【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂，
分组方法是35，24，1，此时的涂法有种，
若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂，
分组方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此时的涂法有种，
所以总的涂色方法有.
故答案为：.
2．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 .
【答案】
【分析】根据题意，第一个的方格有种涂法，假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色，分类求得不同的涂色方法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】设四种颜色分别为，对于第一个的方格，共有种不同的涂法，
假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色，
①若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或，
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂；
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂；
②若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或，
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂；
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第二方格涂，不合题意；
所以，共有类涂法，则共有种不同的涂色方法.
故答案为：.
3．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.
①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法.
②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法.
【答案】
【分析】①利用分步计数原理可求不同的涂法；②先涂，再就的涂色情况分类计算即可.
【详解】①先涂，共有种，再涂鸦，共有种，
故共有种涂法.
②先涂，共有，
若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
同理所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
故共有涂法种，
故答案为：.
1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.

A．120B．360C．420D．480
【答案】C
【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.
【详解】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有种方法.
再由分类计数原理，共有种不同的方法.
故选：C.
2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（ ）

A．156B．144C．96D．78
【答案】A
【分析】依题意对、、、区域所选颜色分三种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】除B区域外，其他区域的种法分三类：
第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A区域选红色，有种不同的种法;
第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，
C，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法;
第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，
C，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法．
综上可得，共有（种）不同的种法．
故选：A
3．（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A．3125B．1000C．1040D．1020
【答案】D
【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.

分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，
则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
1．（2024·江西·模拟预测）将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用排列组合公式结合古典概型的概率公式即可求解．
【详解】将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有种，
其中，2个1不相邻的情况有种，
故所求概率为．
故选：A.
2．（2024·广东·二模）8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（ ）
A．28B．2520C．105D．128
【答案】C
【分析】直接由排列组合知识求解即可.
【详解】由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，
则所有可能的分组方案数量是.
故选：C.
3．（2024·河南周口·模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（ ）
A．243种B．162种C．72种D．36种
【答案】B
【分析】先安排甲乙有种方法，再安排其他三人，结合分步乘法计数原理即可得答案.
【详解】先安排甲、乙两人，有种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有（种）方法.
故选：B.
4．（2024·新疆喀什·三模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为 ．
【答案】96
【分析】利用捆绑法即可求解.
【详解】从3，4，5，9中选择一个数字放入两个1之间，将其与两个1看作一个整体，与剩下元素全排列，故不同的密码个数为，
故答案为：96
5．（2024·河南濮阳·模拟预测）某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】A
【分析】先安排，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，求出答案.
【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，
由于两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排，有种，
再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有
故不同的派遣方法有种.
故选：A.
6．（2024·海南海口·模拟预测）海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（ ）
A．24种B．48种C．98种D．120种
【答案】B
【分析】先排特殊，再一般，最后按照计数原理计算即可.
【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有种；
再安排剩下四天的行程有，所以一共有种安排方法.
故选：B
7．（2018·广东深圳·一模）某次文艺汇演，要将这六个不同节目编排成节目单．如果两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】将捆绑，且可从3个位置选择，再将剩余4人进行全排列，得到答案.
【详解】将捆绑，且可放入；和三个位置，故有种情况，
将其它4个节目和4个位置进行全排列，有种情况，
故节目单上不同的排序方式有种.
故选：B
8．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120种B．24种C．36种D．12种
【答案】D
【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案.
【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择，
3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择，
则同色棋子不相邻的排列方式有种.
故选：D
9．（2024·青海海西·模拟预测）现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由6人的全排列，以及插空法及甲乙丙的顺序确定，从而可求甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率.
【详解】6人的全排列有，利用插空法，将余下的三个人全排列，
则将甲、乙、丙三人插入到四个空中且他们的顺序为甲乙丙一种，
又由甲、乙、丙三人的全排列有种，
所以甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的排法有种，
故所求概率为．
故选：B．
10．（2024·重庆九龙坡·三模）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求出数字1，3相邻时的六位数个数以及数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.
【详解】设“数字1，3相邻”，设“数字2，4，6相邻”，
则数字1，3相邻时的六位数有个，
数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数为，
则.
故选：A.
1．（2024·全国·模拟预测）1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A．240B．480C．384D．1440
【答案】B
【分析】利用插空法求解.
【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，
此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，
由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，
故选：.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（ ）种不同的测试方法．
A．114B．90C．106D．128
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理可求得测试方法的种数.
【详解】解：检测2次可测出2件次品，不同的测试方法有种；
检测3次可测出2件次品，不同的测试方法有种；
检测4次测出2件次品；不同的测试方法有种；
检测4次测出4件正品，不同的测试方法共有种，
由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为：
种．
故选：A．
3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32B．24C．18D．12
【答案】B
【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可.
【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类：
第一类，A场地安排1人，共种安排方法，
第二类，A场地安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
故选：B
4．（2024·陕西西安·模拟预测）公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字作答） ．
【答案】
【分析】利用分步计数原理，先求出从甲、乙两部门各选2名职工的选法和将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项的分法，即可求出结果.
【详解】因为从甲、乙两部门各选2名职工，且所选的4名职工是2男2女，有种选法，
又将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，有种分法，
所以不同的分配方案种数为.
故答案为：.
5．（2024·辽宁大连·二模）第二十一届大连国际徒步大会即将召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派方案共有 种.
【答案】36
【分析】分小张和小赵两人只有一人入选和两人都入选两种情况讨论，利用分类加法计算原理计算可得.
【详解】①小张和小赵两人只有一人入选，则有种选派方法；
②小张和小赵两人都入选，则有种选派方法；
综上可得一共有种选派方法.
故答案为：36
6．（2024·广西贵港·模拟预测）2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（ ）
A．732种B．2260种C．4320种D．8640种
【答案】D
【分析】依题意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中，按照先选人，再排列，相邻问题用捆绑法，最后按照分步乘法计数原理计算可得．
【详解】根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中．
先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，
所选3男选2人相邻，与余下的1男安排在1女的两侧，
排列方法有种，
再确定“2男2女”这一排，2男先排好有，
2女相邻并放在2男之间有种，或2女放在2男成排的两空有种方式，
排列方法有种，
因此，不同的排列方法总数为．
故选：D
7．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．192种B．252种C．268种D．360种
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.
【详解】若甲乙不值班，值班安排有种；
若甲乙只有一人不值班，值班安排有种；
若甲乙都值班，值班安排有种，
所以值班安排共有252种.
故选：B
8．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44种B．48种C．72种D．80种
【答案】B
【分析】利用间接法，首先将五个节目全排列，减去独唱类节目相邻，再减去歌舞类节目相邻，最后加上独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻的情况即可.
【详解】依题意五个节目全排列有种排法；
若独唱类节目相邻，则有种排法；
若歌舞类节目相邻，则有种排法；
若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法；
综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种.
故选：B
9．（2023·陕西宝鸡·一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有 种.
【答案】
【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下的部分即可.
【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.
又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.
①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；
②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.
又板块颜色可排列，故共种.
故答案为：
10．（2024·全国·模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（ ）
A．20B．40C．66D．80
【答案】C
【分析】先求上午的安排方法种数，再求下午的安排方法种数，结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】因为丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A，所以上午甲、乙、丙参加B，C，D这3个项目，
共有种不同的安排方法.
又因为甲、乙、丙、丁四人下午参加的项目为A，B，C，D，分2类：
①丁参加项目A，共有2种不同的安排方法；
②丁参加B，C，D这3个项目中的1个，从甲、乙、丙中选1人参加项目A，剩下两人参加剩下的2个项目，
共有种不同安排方法；
综上所述：共有种不同的安排方法.
故选：C.
11．（2024·江西·模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意，分两种情况讨论，第一种情况是来自江西的三位散文家中选出两人，第二种情况是来自江西的三位散文家中选出三人，然后再结合插空法即可得到结果.
【详解】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
12．（2024·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果.
【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法；
若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法，
剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校），
分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、
（1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），
共种排法；
若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法，
若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；
若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组，
分别有、、种排法，故共有：
种排法.
故选：B.
1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，
故所求概率.
解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.
故选：B
2．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．
故答案为：329．
3．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了活动，他再选择活动的概率.
【详解】解法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，
则甲选到得概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选则有3种可能性：，
故乙选了活动，他再选择活动的概率为.
解法二：
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，
则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为
故答案为：；
4．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
5．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
6．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
7．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
8．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
9．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
10．（2022·全国·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
11．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
12．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
13．（2021·全国·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
14．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
15．（2020·全国·高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第14题,6分
全排列问题
写出基本事件
分步乘法计数原理
2023年新I卷，第13题,5分
实际问题中的组合计数问题
分类加法计数原理
2023年新Ⅱ卷，第3题,5分
实际问题中的组合计数问题
分步乘法计数原理及简单应用
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
2023年全国甲卷（理），
第9题,5分
排列数的计算
分类加法计数原理
2023年全国乙卷（理），
第7题,5分
排列数的计算
实际问题中的组合计数问题
分步乘法计数原理及简单应用
2022年新I卷，第5题,5分
实际问题中的组合计数问题
计算古典概型问题的概率
2022年新Ⅱ卷，第5题,5分
元素(位置)有限制的排列问题
相邻问题的排列问题
无
2022年全国甲卷（理），
第15题,5分
组合计数问题
计算古典概型问题的概率
2022年全国乙卷（理），
第13题,5分
实际问题中的组合计数问题
计算古典概型问题的概率
2021年全国甲卷（理），
第10题,5分
不相邻排列问题
计算古典概型问题的概率
2021年全国乙卷（理），
第6题,5分
排列组合综合
无
2020年新I卷，第3题,5分
排列组合综合
无
2020年新Ⅱ卷，第6题,5分
分组分配问题
无
2020年全国乙卷（理），
第14题,5分
相邻问题的排列问题
分步乘法计数原理及简单应用
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq \\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法种eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
间接法
正难则反、等价转化的方法
分组分配
平均分组、部分平均分组
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法
将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题
(1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为
(2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为
(3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。