河南省南阳市唐河县2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省南阳市唐河县2024-2025学年八年级上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了《孙子算经》中记载等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 100 分钟。
2．试题卷上不要答题，请用 0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上。答在试题
卷上的答案无效。
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列各数中，是无理数的是
A. B． C． D．3.1010010001
2．下列各式从左到右的变形为因式分解的是
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC 中，AB=AC，P 为△ABC 内一点，∠APB≠∠APC，
求证：PB≠PC. 当用 反证法证此题时，第一步应假设
A．AB≠AC B．PB =PC
C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB
4．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近 5 次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，
则下列判断错误的是
A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
D．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
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5．若△ABC 的三边长分别是 a,b,c，则下列条件中不能判定△ABC 是直角三角形的个数有
① ； ② ； ③ ； ④
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．如图，BP 是∠ABC 的平分线，点 M、N 分别在边 BA，BC 上，添加下
列条件，不能判定△PBM≌△PBN 的是
A．PM⊥AB，PN⊥BC B．BM=BN
C．∠BPM=∠BPN D．PM=PN
7．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：
1 亿＝1 万×1 万，1 兆＝1 万×1 万×1 亿，则 1 兆等于
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
8．已知点 O 为数轴原点，如图，(1)在数轴上截取线段 OA＝2；(2)过点 A 作直线 l 垂直于 OA；
(3)在直线 l 上截取线段 AB＝3；(4)以 O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴分别于点 C，
D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝ ；③点 C
对应的数是 －2；④5＜AD＜6．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
9．如图，正方体盒子的棱长为 2，M 为 BC 的中点，则一只蚂蚁从 M 点沿盒子的表面爬行到
A 点的最短距离为
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，通过尺规作图，得到直线 DE，分别与 AB，BC，
BF 交于点 D，E，O，连结 OA，OC. 若∠ABC＝46°，∠BCO＝21°，OB＝3，OC＝5，
则 AC 的长度为
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A． B．6 C． D．7
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．请写出一个小于－1 的无理数__________．
12．对某校八年级(1)班 50 名同学的一次数学测验成绩进行统计，其中 80.5～90.5 分这一组
的频数是 18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在 80.5～90.5 分之间的频率为
__________．
13．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，5 尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”
此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为 1 尺，将
它向前水平推送 10 尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 和身高 5 尺的人一样
高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出绳索 AD 的长
是__________尺．
第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图
14．如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由 4
个全等的直角三角形与 1 个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为 5，小
正方形的边长为 2．若用正数 a、b 表示直角三角形的两条直角边 ，则
__________．
15．如图，在 中， ，点 在直线 上， ，点
为 上一动点，连接 ．当 的值最小时， 的度数为________
度．
三、解答题(本大题共 8 个小题，共 75 分)
16．(每小题 4 分，共 12 分)(1)计算：
(2)化简：
(3)已知 ，求 值．
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17．(9 分) 某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随
机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类．回收、整理好
全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)此次调查中接受调查的人数为_________人；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为_________°；
(4)该校共有 1000 人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技
的人数共多少人？
18．(8 分)杨老师在黑板上布置了一道题，小林和小红展开了下面的讨论：
小林：已知 y =－1，求代数式： 的值；只知道 y 的值，
没有告诉 的值，求不出答案.
小红：这道题与 无关，是可以解的.
根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值．
19．(9 分)如图，在四边形 中， ，点 E 为对角线 上一点， ，
且 ．
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若 ，求 的度数．
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20．(7 分)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是 2025 年 1 月份的日历，
我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中 4 个位置上的数交叉相乘，再用
积较大的数减去较小的数，例如：3×9－2×10，你发现了什么规律？
2025 年 1 月
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
(1)将每个方框的左上角数字设为 n，请用含 n的式子表示你发现的规律：______________.
(2)请利用整式的运算对以上规律进行证明.
21．(10 分)定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若以 AM，MN，NB 为
边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点.
(1)已知点 M、N 将线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若 ，
则点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，且 AM 为直角边，若 ，求
BN 的长.
22．(10 分)数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学
问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
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【教材还原】观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：____________；
【类比探究】(1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为____________；
(2)根据图②所得的公式，若 ， ，则 ____________．
【解决问题】如图③，某学校有一块四边形空地 ，AC⊥BD 于点 E， ，
，该校计划在△ADE 和△BCE 区域内种花，在△CDE 和△ABE 的区域内种草．经
测量种花区域的面积为 ， ，请求出种草区域的面积.
23．(10 分)综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸
鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，
同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们
带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪
些丰富的数学知识．
(1)折纸 1：如图 1，在一张长方形纸片上任意画一条线段 ，将纸片沿线段 折叠(如
图 2).
问题 1：重叠部分的△ABC 的形状_________(是、不是)等腰三角形．
问题 2：若 ， ，则重叠部分△ABC 的面积为_________ ．
(2)折纸 2：如图 3，长方形纸片 ，点 为边 上一点，将△BCE 沿着直线 折
叠，使点 的对应点 落在边 上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图 中找出点 的
位置(保留作图痕迹，不写作法)．
(3)折纸 3：如图 4，长方形纸片 ， ， ，若点 为射线 上一点，
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将△ABM 沿着直线 折叠，折叠后点 B 的对应点为 ，当点 恰好落在 的垂直
平分线上时，求 的长．
2024 年秋期期终阶段性文化素质监测八年级
数学参考答案及评分细则
说明：
1．考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照"参考答案及评分标准”的精神进行评分．
2．如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可的情给分，
但原则上不超过后面应得分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
3．评卷过程应按步给分，以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．A 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．B 10．A
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11． (答案不唯一) 12．0.36(或 36％， ) 13．14.5 ( 或 , )
14． 15．17
三、解答题(本大题共 8 个小题，共 75 分)
16．(每小题 4 分，共 12 分)
(1)解：原式 ……………………………………2 分
……………………………………………………………3 分
．……………………………………………………………………4 分
(2)化简：
解：原式=4x6y2－27x6y2………………………………………………2 分
=－23x6y2…………………………………………………………………………………4 分
(3)解： ，
…………………………………………………………………2 分
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……………………………………………………………………………3 分
．…………………………………………………………………………4 分
17．(9 分)(1)50．………………………………………………………2 分
(2)补全条形统计图如图所示：…………………………………………4 分
(3)43.2．(或 43.2°)………………………………………………………………6 分
(4) (人)，
答：该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共 920 人．………9 分
18．(8 分)解：小红说的对，这道题与 x 的值无关，是可以解的，……………………1 分
原式= ……………………………4 分
……………………………………5 分
， ……………………………………………………………………6 分
∴化简结果中不含 x，与 x 取值无关，
当 时，原式 …………………………………………7 分
．…………………………………………………………………………8 分
19．(9 分)(1)证明：∵ ，
∴ ，…………………………………………………………2 分
在 和△ECB 中，
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，
∴△ABD≌△ECB( )；…………………………………………………4 分
(2)解：∵△ABD≌△ECB，
∴ ，…………………………………………………………………6 分
∴ ，…………………………………………………8 分
∴ ．………………………………………………………………9 分
20．(7 分)(1)(n+1)(n+7)－n(n+8)＝7……………………………………3 分
(2)(n+1)(n+7)－n(n+8)＝n2＋8n＋7－n2－8n……………………………5 分
＝7…………………………………………………………………………………………7 分
∴(n+1)(n+7)－n(n+8)＝7
21．(10 分)(1)点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，理由如下：
∵ ，
又∵ ，………………………………………………2 分
∴ ，………………………………………………………3 分
∴以 AM，BN，MN 为边的三角形是直角三角形，
∴点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点；…………………………………………4 分
(2)设 BN=x，
则 MN=30－AM－BN=25－x，………………………………………………………5 分
①当 MN 是斜边时，
∵点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，………………………………………………………7 分
解得：x=12；……………………………………………………………………8 分
②当 BN 是斜边时，
∵点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，………………………………………………………9 分
解得：x=13；…………………………………………………………………10 分
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∴BN 的长为 12 或 13
22．(10 分)教材还原： ；………………………2 分
类比探究：(1) ；…………………………………4 分
(2)5；………………………………………………………………………6 分
解决问题：解法一：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，……………………………………7 分
∴ ，…………………………………………………………8 分
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，……………………………………………………………9 分
∵ ，
∴ ．…………………………………………10 分
∴种草区域的面积为 23.
解法二：设 AE=x，EC=y
∵AC=9
∴x+y=9 ①
又∵AE=ED=x，EB=CE=y
且种花面积为
∴
∴x2+y2=35②
由（1）：x2+y2=(x+y)2－2xy
∴35=92－2xy ∴xy=23
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∴种草面积为：
23．(10 分)
(1)问题 1：是；………………………………………… 1 分
问题 2： ；……………………………………………… 3 分
(2)作图如下：
……………………………………… 5 分
(3)设 BM=x，
①若 B′在矩形内部如图
∵NH 是 BC 的垂直平分线，B′在 NH 上，BC=6
在 Rt△ANB′中，AB′=AB=5.
AN= BC=3
∴NB′=4. …………………………………………… 6 分
在 Rt△B′HM 中，B′H=NH－NB′=1
MH=3－x，MB′=BM=x
∴(3－x)2+1=x2 ………………………………………… 7 分
∴ . ………………………………………… 8 分
②若 B′在矩形外部如图
在 Rt△ANB′中，AB′=AB=5，AN=3
∴B′N=4
在 Rt△B′HM 中，B′H=B′N+NH=9
MB′=MB=x，HM=BM－BH=x－3.
∴(x－3)2+92=x2 …………………………… 9 分
∴x=15. …………………………………10 分
故 BM 的长为 或 15.(不下此结论不扣分)
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提示：
问题 1：如图 2，设点 M 是纸片下边上的点，
∵纸片为矩形，则 ，
∴ ，
由折叠的性质知， ，
∴ ，
∴△ABC 的形状为等腰三角形，
问题 2：过点 作 于点 ，
则 ，
则 ，
则△ABC 的面积
(2)以点 为圆心，以 长度为半径作圆交 于点 ，
作 的角平分线 ，交 于点 ，作图过程如右：
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