2025广西壮族自治区上进联考高三下学期开学考试数学含解析

这是一份2025广西壮族自治区上进联考高三下学期开学考试数学含解析，共15页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知，则等内容，欢迎下载使用。
高三数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则（ ）
A. B.5 C. D.
4.已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（ ）
A.30 B.42 C.56 D.3960
7.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
8.已知集合，现将中的元素从小到大依次排列，则第20个元素为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（ ）
A.的外接圆直径为
B.
C.的面积为3
D.的周长为
10.已知函数的图像向左平移个单位长度后得到的图象，则（ ）
A.
B.是偶函数
C.的图像关于点对称
D.当时，取得最小值
11.如图，在正三棱柱中，分别为的中点，为线段上的动点，四点均在球的表面上，则（ ）
A.三棱锥的体积为1
B.球的表面积为
C.的最小值为
D.球的表面与侧面的交线长为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.复数的虚部为__________.
13.过抛物线的焦点的直线与交于两点，且点在点的上方，已知，若点在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为__________.
14.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）据统计，某地一特色饭店2024年8月份共有1000个网上点餐订单，好评率为0.85.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店9月份共有1500个网上点餐订单，其中好评订单有1400个.
（1）根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店9月份订单的好评与服务改进有关；
（2）若从8月、9月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10个订单分析顾客的意见，再从这10个订单中随机抽取4个订单进行电话访谈，求其中恰好有3个订单为好评订单的概率.
附：.
16.（15分）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，与交于点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：0为的极小值点.
18.（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，且上顶点与都在直线上.
（1）求的方程；
（2）若点为上的一个动点，点，求的最小值；
（3）若过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：.
19.（17分）若数列是递减数列，且数列也是递减数列，则称数列是“暴跌数列”.
（1）判断数列是否为“暴跌数列”，并说明理由；
（2）若数列是“暴跌数列”，求的取值范围；
（3）已知等差数列是“暴跌数列”，且首项，公差，又数列，记数列的前项和为，设，若存在不相等的正整数和，使得，求所有可能的值.
广西2025届高三下学期开学考
高三数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】将“”改为“”，将“”改为“”，故：.故选B.
2.【答案】A
【解析】因为，所以，解得.故选A.
3.【答案】A
【解析】依题意，，故，因为，故.故选A.
4.【答案】D
【解析】由题意知，，所以.故选D.
5.【答案】D
【解析】，所以.故选D.
6.【答案】A
【解析】由题意可知，先排教师的节目全排列有种排法，然后学生按照原有顺序进入余下的六个空，只有一种，所以全部排法有30种.故选A.
7.【答案】B
【解析】设的右焦点为，则，点到渐近线的距离为，所以的离心率.故选B.
8.【答案】C
【解析】数列中的项为：，经检验，数列中的都是数列中的项，观察归纳可得，所以中元素从小到大依次排列的第20个元素为.故选C.
9.【答案】ABD（每选对1个得2分）
【解析】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确；由易得，所以等价于，由正弦定理得，故B正确；由余弦定理可得，代入，解得，所以的周长为的面积为，故C错误，D正确.故选ABD.
10.【答案】BC（每选对1个得3分）
【解析】，故.对于A，，故A错误；对于B，
，而，故为偶函数，故B正确；对于C，令，则，故的图象的对称中心为，当时，对称中心为，故C正确；对于，当时，取得最大值，故D错误.故选BC.
11.【答案】BCD（每选对1个得2分）
【解析】如图，正三棱柱中，分别为的中点，所以平面平面
，又，所以
，故A错误；因为与均为以为斜边的直角三角形，所以点为的中点，所以球的表面积为，故B正确；因为，所以，所以，所以，当且仅当为线段的中点时等号成立，故C正确；取的中点的中点，连接，则平面，因为球的半径为，所以球的表面与平面相交所得截面圆的半径，又中，，所以，所以球的表面与侧面的交线长为，故D正确.故选BCD.
12.【答案】
【解析】，其虚部为.
13.【答案】
【解析】易得，由点在线段的垂直平分线上可得点的横坐标为，代入的方程可得，所以，故直线的斜率为.
14.【答案】
【解析】函数的定义域为，且，所以为偶函数，又当时，，所以在上单调递增，所以不等式对任意恒成立，转化为，即，所以且
在上恒成立，①若在上恒成立，则，解得；②若在上恒成立，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.
15.解：（1）8月份的订单中，好评订单有个，
非好评订单有个.
9月份的订单中，非好评订单有个.
故补全的列联表如下表所示：
零假设：该饭店9月份订单的好评与服务改进无关.
，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即该饭店9月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）利用分层随机抽样的方法抽取10个订单，则好评订单应抽取个，
非好评订单应抽取个.
设“从这10个订单中随机抽取4个订单进行电话访谈，其中恰好有3个订单为好评订单”为事件，
则.
16.（1）证明：因为为直三棱柱，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为侧面为正方形，所以，
又，且平面，
所以平面.
（2）解：依题意两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
令，则，平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.（1）解：易得的定义域为，
，
因为，故，令，可得，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：由题意可知，的定义域为，且，
设函数，则，
当时，，
可得，
故在区间上单调递增，又，
故当时，，即；当时，，即，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以0是的极小值点.
18.（1）解：在直线方程中，令，得，
即，所以，
令，得，即，所以.
所以的方程为.
（2）解：设，则，
整理得，
因为，故，故.
（3）证明：当直线的斜率为0时，不妨记，
则，
则.
当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为.
由得，
则，所以.
且.
如图，因为，所以点在线段的垂直平分线上，则.
易知.
设，则，
则.①
又点在直线上，所以，
则，
所以，则.
整理，得.②
由①②，得.
所以，则，所以.
综上.
19.解：（1）因为是递减数列，
是递增数列，
故不是“暴跌数列”.
（2）因为是“暴跌数列”，所以和均是递减数列，
故，且，
，即对恒成立，得.
，
即对恒成立，当时，数列取最小值4，
所以，得.
所以，即的取值范围为.
（3）因为是递减数列，所以，
由，得.
又是递减数列，
所以，
故恒成立，得，又，故.
所以，
，
，
两式相减得
，
，
故，
因为当时，单调递减，
所以当时，，故，即，
故，故若，则不存在和，使得.
从而.
，由，得，得，满足；
，由，得，得，满足；
，由，得，得，不满足；
当时，，
故不存在大于4的正整数，使得.
综上，所有可能的值为3和4.好评订单个数
非好评订单个数
合计
服务改进前
服务改进后
合计
2500
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
好评订单个数
非好评订单个数
合计
服务改进前
850
150
1000
服务改进后
1400
100
1500
合计
2250
250
2500