江西省宜春市丰城市第九中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市丰城市第九中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题）
1．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线B．四叶玫瑰线
C．心形线D．笛卡尔叶形线
2．小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小．
其中结论正确的个数是（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6小题）
7．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ．
8．将抛物线向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为 ．
9．某小区规划在一个长为40米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AB垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为2米，则甬路的宽度为 米．
10．如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ．
11．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是 ．
12．已知，正六边形的边长为2，点P在它的边上，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题）
13．（1）解方程；
（2）已知：如图，、为的半径，、分别为、的中点，求证：．
14．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．
15．如图，在网格中（每个小正方形的边长都是1），线段的两个端点都在格点上，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段．

(1)旋转过程中点A运动的路径长为______；
(2)在网格中用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画出线段，则点C的坐标为______；
②作出的外心O．
16．一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同．
(1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；
(2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？
17．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
18．已知 关于x的一元二次方程．
求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
19．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
20．如图，点E是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作，交线段于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
21．九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”，求函数的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数可知，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
(1)函数的“旋转函数”是 ；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”．
22．九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则 °，与的数量关系是 ；
(2)迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长．
23．已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点G，求的面积；
(3)在对称轴上找一点Q，使的值最小，求满足条件的点Q坐标；
(4)在抛物线上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？存在，求出点P坐标；不存在，说出理由．
参考答案
1．【答案】B
【分析】将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故此题答案为．
3．【答案】D
【分析】根据旋转性质得旋转角为可求解．
【详解】解：绕点A按顺时针方向旋转后与重合，
．
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】连接，由AB是圆的直径可得，由可得，再由圆周角定理可得结论．
【详解】解：如图，连接，
∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵与都对着，
∴．
故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】当a≠0根据根的判别式的意义得Δ＝（﹣2）2﹣4a×（﹣1）＝4（1+a）≥0，然后解不等式；当a＝0时，是一元一次方程有根，由此得出答案即可．
【详解】解：当a≠0时，
∵原方程有实数根，
∴Δ＝4+4a≥0，
∴a≥﹣1，
当a＝0时，﹣2x﹣1＝0有实数根．
故此题答案为A．
6．【答案】B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，结合图象当x=-1时，y=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】函数图象与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
函数的对称轴是x=1，则与x轴的另一个交点是（3，0），
则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；
函数的对称轴是x1，∴b=-2a，由图象可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，∴a+2a+c=3a+c=0，故③正确；
函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④正确；
当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误．
故此题答案为B．
7．【答案】4
【分析】将根代入一元二次方程，求出a的值即可．
【详解】将x=－1代入方程可得：1－(－3)－a=0，
解得：a=4．
8．【答案】
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是．
9．【答案】2
【分析】设甬路的宽为xm，六块草坪的面积为，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．
【详解】设甬路的宽为xm,根据题意得
整理得
解得
当x=44时不符合题意，故舍去，
所以x=2.
10．【答案】/115度
【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接，如图：
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
11．【答案】+2
【分析】将以CD为直径的⊙O补充完整，由点B在⊙O外可得出当点B、O、P三点共线时BP最大，根据矩形以及圆的性质可得出OC、OP的长度，再利用勾股定理即可求出OB的长度，进而即可得出BP的最大值．
【详解】解：将以CD为直径的⊙O补充完整，如图所示．
∵点B在⊙O外，
∴当点B、O、P三点共线时，BP的值最大．
∵CD为⊙O的直径，CD＝AB＝4，
∴OC＝OP＝2．
在Rt△BOC中，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝，
∴此时BP＝BO+OP＝+2．
12．【答案】2或或
【分析】根据题意，分三种情况讨论：①当时，为等腰三角形；②当时，为等腰三角形，③当时，为等腰三角形，分别求解即可．
【详解】解：正六边形的边长为2，
，
①当时，为等腰三角形，
；
②当时，为等腰三角形，过点B作，
，，
，
，
；
③当时，为等腰三角形，连接，过点P作，
由②可知，，
，
同理，
，
四边形为矩形，
，
为等腰三角形，
，
，
综上所述的长为2或或．
13．【答案】（1），；（2）见解析．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据、分别为、的中点得到，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证结论．
【详解】（1）解：
移项，得：，
因式分解得：，
∴或，
∴，；
（2）证明：∵、分别为、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
14．【答案】，1．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．
【详解】解：原式
．
∵是方程的根，
∴．
∴．
∴ 原式．
15．【答案】(1)
(2)①画图见解析，；②
【分析】（1）由于线段在变换到的过程中，A点走过的路程为以B为圆心，为半径，圆心角为90度的弧，于是利用弧长公式可计算出A点的运动路径长；
（2）①根据旋转方向和旋转角度作图即可；
②根据直角三角形的外心在斜边中点利用网格作图确定的中点即可．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：，
∵将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴于线段在变换到的过程中，A点走过的路程为以B为圆心，为半径，圆心角为90度的弧，
∴点A的运动路径长为：，
故答案为：；
（2）解：①如图所示，线段即为所求：
∵，
∴；

②如图点O即为所求：
∵是直角三角形，即，
∴的外心O即为的中点，
∴如下图中所示，点O即为所求

16．【答案】(1)不可能事件，0；
(2)5个白球．
【分析】（1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率．
（2）设取走了x个白球，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）因为口袋中装有3个红球和9个白球，
所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，
所以它发生的概率是0．
（2）设取走了x个白球．
由题意，得，
解得．
故取走了5个白球．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论；
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点A作，垂足为F．
∵，，，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
18．【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【分析】（1）应用根的判别式直接判断就可以.
（2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长
【详解】（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3
，
∵
∴
即
∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根
∴根据韦达定理可知
∴，
解得.
当时，
周长
19．【答案】(1)这两次价格上调的平均增长率为；
(2)每包应该降价3元．
【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x,利用经过两次上调价格后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．
【详解】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x,
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：这两次价格上调的平均增长率为．
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
20．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过O作于H，利用正方形性质和等腰三角形性质证明，，根据角平分线性质得到即可得证；
（2）结合正方形性质和勾股定理得到后即可求得，由角平分线定义求出的角度后，根据阴影部分的面积为的面积扇形的面积即可求解．
【详解】（1）证明：过O作于H，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积的面积扇形的面积．
21．【答案】(1)
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出的值，结合“旋转函数”的定义可求出的值，即可得解；（2）由函数与互为“旋转函数”，可求出的值，将其代入即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、B、C的坐标，结合对称的性质可求出点，，的坐标，由点，，的坐标，利用交点式可求出过点的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出的值，再由可证出经过点的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【详解】（1）由函数知，，
∵，
∴，
∴
（2）根据题意得：，
解得，
∴；
（3）证明：化简得
，
则A、B、C三点的坐标分别为，
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为，
∴将三点代入函数解析式，
得，
∴，
∴经过、、三点的函数解析式为，
∴与原函数是旋转函数．
22．【答案】(1)90，
(2)；
(3)或2
【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
（2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
（3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵为等腰三角形，，
∴为等边三角形，
∵将绕点O旋转，得到，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
故答案为：90，；
（2）由旋转的性质，可知，
∵为等边三角形，平分为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）分以下两种情况进行讨论：
①如图1．当点E在右边时，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
由旋转的性质，得，
∴为等边三角形，
∵F是的中点，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点E在左边时，
同理，可得，
∴．
综上所述，的长为或2．
23．【答案】(1)抛物线的函数表达式：，顶点坐标为
(2)
(3)
(4)存在，点P坐标为或
【分析】（1）先求出抛物线对称轴为直线，进而得到顶点坐标为，把代入抛物线解析式求出a的值即可得到答案；
（2）分别求出A、B、G的坐标得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）由对称性得到，则，即可推出线段与对称轴的交点即为点Q， 证明，得到，则点Q的坐标为；
（4）分两种情况，当A为直角顶点时，过点过点P作轴于F，证明是等腰直角三角形，设，则，即可得到，将点P代入抛物线得，，解方程即可得到答案；当点G为直角顶点时，过点C作轴，垂足为点H，求出，则，则点P即是点C．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
又∵抛物线顶点在第三象限，且顶点纵坐标为，
∴将代入得：，
解得：或（舍去），
∴抛物线的函数表达式：，顶点坐标为；
（2）解：令，
解得：或，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵点B关于对称轴对称的点为点A，
∴，
∴，
∴线段与对称轴的交点即为点Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴点Q的坐标为；
（4）解：当是以为直角边的直角三角形时，存在两种情况：
①以点A为直角顶点的直角三角形，过点P作轴于F
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，设，则，
∵，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴将点P代入抛物线得，，
解得，，，（不合题意，舍去）
∴；
第二种情况：设抛物线顶点C，连接，过点C作轴，垂足为点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点P即是点C，
∴，
综上所述，满足条件的点P坐标为或．