专题11 立体几何中的截面与轨迹问题（6大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

这是一份专题11 立体几何中的截面与轨迹问题（6大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题11立体几何中的截面与轨迹问题6大题型-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练新高考通用原卷版docx、专题11立体几何中的截面与轨迹问题6大题型-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练新高考通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。

目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10447" 题型01 截面形状问题 PAGEREF _Tc10447 \h 1
\l "_Tc30814" 题型02 截面面积、周长问题 PAGEREF _Tc30814 \h 5
\l "_Tc13387" 题型03 截面切割几何体体积问题 PAGEREF _Tc13387 \h 6
\l "_Tc4069" 题型04 平行、垂直相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc4069 \h 7
\l "_Tc24930" 题型05 距离、角度相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc24930 \h 9
\l "_Tc18620" 题型06 翻折相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc18620 \h 11
题型01 截面形状问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
2．（2024高三·全国·专题练习）过正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（ ）
A．三角形或五边形
B．三角形或六边形
C．六边形
D．三角形
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料的棱长为3米，点在棱上，且，过点把木料据开且锯面与平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？

题型02 截面面积、周长问题
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
5．（24-25高三上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 .
题型03 截面切割几何体体积问题
【典例训练】
一、填空题
1．（24-25高三·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ．
2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .

3．（23-24高三下·吉林·期末）我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱中，，E是上一点，于点F，设，，则点E绕旋转一周所得的圆的面积为 （用d表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 .
题型04 平行、垂直相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
2．（23-24高三下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·福建福州·期末）已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．3B．C．D．2
4．（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
5．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余弦值为，动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，则点M的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（ ）
A．3B．5C．D．
7．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
题型05 距离、角度相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆
2．（24-25高三上·天津·期中）在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为3，点P是平面内的动点，M，N分别为，的中点，若直线BP与MN所成的角为，且，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（ ）

A．B．C．D．
6．（23-24高三上·广东东莞·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，点在侧面所在的平面上运动.现有下列命题：
①若点总保持，则动点的轨迹是直线；
②若点到点A的距离为，则动点的轨迹是圆；
③若点到点与点的距离比为2：1，则动点的轨迹是圆；
④若点到直线与直线的距离比为2：1，则动点的轨迹是椭圆.
其中真命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ）
A．B．C．D．
题型06 翻折相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ）

A．B．C． D．
二、填空题
2．（23-24高三上·重庆·期中）如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为 ，点的轨迹的长度为 ．
一、单选题
1．（2024高三上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）

A．108B．162C．180D．189
2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图， 在四棱锥中， 底面 是边长为3的正方形，平面，点为底面上的动点， 到的距离记为，若，则点在底面正方形内的轨迹的长度为（ ）
A．2B．C．D．
8．（24-25高三上·北京·期末）在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（ ）
A．一段圆弧B．一段抛物线
C．一段椭圆D．一条线段
9．（24-25高三上·湖北·阶段练习）点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
10．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
11．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面截该正方体的截面面积为
B．若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C．若为的中点，则三棱锥的体积为1
D．若，则的最大值为
12．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的中点，点为平面内的动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若与所成的角为，则点的轨迹是椭圆
B．若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线
C．若与所成的角为，则点的轨迹是双曲线
D．以为球心，为半径的球面与平面相交所得曲线的面积为
13．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的是（ ）
A．当时，是一个点
B．当平面时，是一条线段
C．当直线与平面所成的角为时，是圆
D．当直线与平面所成的角为时，是双曲线
14．（23-24高三下·山东日照·期末）已知正方体的棱长为1，M，P分别为，AB的中点，点N满足，设平面截正方体所得截面为，其面积为S，设该截面将正方体分成两部分的体积分别为，，则下列判断正确的是（ ）
A．截面可能为五边形B．当时，
C．存在，使得D．的最大值为
15．（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
16．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）如图，已知矩形为中点，为线段（端点除外）上某一点．沿直线沿翻折成，则下列结论正确的是（ ）

A．翻折过程中，动点在圆弧上运动
B．翻折过程中，动点在平面的射影的轨迹为一段圆弧
C．翻折过程中，二面角的平面角记为，直线与平面所成角记为，则．
D．当平面平面时，在平面内过点作为垂足，则的范围为
三、填空题
17．（23-24高三下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
18．（24-25高三上·天津河北·阶段练习）已知棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，若点P在正方体内部且满足 则点 P到AB的距离为 ; 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，Q是平面ABCD 内一动点，若A₁Q与A₁D所成角为 则动点Q 的轨迹是 (写曲线名称)
19．（2024高三·全国·专题练习）已知在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且，现沿平面将该三棱柱截成两部分，则几何体的体积为 ．
20．（23-24高三下·河南·期末）如图所示，在直三棱柱中，，平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为 ．
21．（24-25高三上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 .
22．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是 .
23．（23-24高三上·四川内江·期中）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .

一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型
五、截面是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为θ0