2024~2025学年湖北省孝感市汉川市九年级上期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省孝感市汉川市九年级上期中数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了精心选一选，相信自己的判断！，细心填一填，试试自己的身手！，用心做一做，显显自己的能力！等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x2﹣5x＝0B. x+1＝0C. y﹣2x＝0D. 2x3﹣2＝0
【答案】A
【解析】A、是一元二次方程，故A正确；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是一元三次方程，故D错误；
故选A．
2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵y=2x2+1=2（x-0）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选B．
4. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵x2+2x= 1，
∴x2+2x+1= 2，
∴(x+1)2= 2，
故选： C．
5. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）
A. y=x2﹣1B. y=x2+1C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
【答案】A
【解析】解：根据题意得：将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，
∴平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．
故选A．
6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A. 65B. 75C. 85D. 130
【答案】C
【解析】∵DE∥AB，
∴∠DAB＝180°－∠D，
∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°，
∴∠DAB=180°－95°=85°，
∴n=85°，
故选：C．
7. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，在直线上，
∴．
故选：B．
8. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意可得方程为；
故选D．
9. 如图，四边形中，，，、，则四边形的面积是（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 3
【答案】B
【解析】解：作，，两线交于点，过点作，垂足为，如下图，
则四边形是矩形，
，．
，
，
．
在和中
，
，
，
．
故选：C．
10. 如图，已知二次函数的部分图象与轴的正半轴的交点位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由二次函数的图象可得：，，
对称轴是直线，
，
，
，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
二次函数与轴有两个交点，与轴的正半轴的交点位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．
∴另一个交点与之间，
可得当时，，
∴，故C正确，符合题意，
二次函数与轴有两个交点，
，
，故D错误，不符合题意；
故选：C．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________．
【答案】y＝x2＋1
【解析】解：∵开口向上，
∴a＞0，
且与y轴的交点为（0，1）．
∴函数解析式可为y=x2+ 1．
故答案为：y=x2+ 1（答案不唯一）．
12. 关于的一元二次方程的一个根是4，则的值是___________．
【答案】16
【解析】解：由题意把代入方程得：，
∴；
故答案为16．
13. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m．
【答案】13
【解析】时，，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴球掷出的水平距离OB为，
故答案为：13．
14. 如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为______．

【答案】4
【解析】解：如图，过点作轴于点，

抛物线的顶点，
抛物线的顶点，
、两点关于原点对称，
两抛物线的二次项系数，即抛物线开口大小相同，
抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合，
．
故答案为：4．
15. 如图中，，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则的长为___________．
【答案】
【解析】解：∵，D是斜边的中点，，，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）.
解：（1），
，
或，
解得：；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴．
17. 已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当时，直接写出的取值范围．
解：（1）把二次函数配成顶点式得：，
∴，即开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）令时，则有，
解得：，
由（1）可知：开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，则x的取值范围是．
18. 喜迎新学期，学校要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）求花圃的最大面积．
解：（1）由题意得，；
（2），
而，，∴当时，花圃的最大面积为．
19. 平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．
（1）进行如下操作（只画出图形）：
①画出以为旋转中心，顺时针旋转的；
②画出关于原点成中心对称的；
（2）已知点为中其中一边上任一点，若点在（1）①中边上的对应点为，则点的坐标为__________．
解：（1）①所作如图所示；
②所作如图所示：
（2）如图，
由图可得，
∴；
故答案为．
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，且为整数，求的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，即，
解得，
∴的取值范围为；
（2）由根与系数的关系知：，，
∵，满足，
∴，
∴，
∴，
又由（1）知，
∴，
∵k为整数，
∴k值为1或2．
21. 如图，将正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，交于点P．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
解：（1）证明：连接，如图所示：
∵正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元．
（1）写出与的函数解析式和与的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元；
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
解：（1）由题意得：
y=500-10（x-50）=1000-10x，
W=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000；
（2）由题意得：-10x2+1400x-40000=8000，
解得：x1=60，x2=80，
当x=60时，成本=40×[500-10（60-50）]=16000＞10000不符合要求，舍去，
当x=80时，成本=40×[500-10（80-50）]=8000＜10000符合要求，
∴销售价应定为每件80元；
（3）W=-10x2+1400x-40000，
当x=70时，W取最大值9000，
故销售价定每件70元时会获得最大利润9000元．
23. 在中，，将绕点逆时针旋转得到，与AB交于点，与交于点，与交于点F，当B、D、F重合时停止旋转．
（1）如图1．
①求证：；
②当AB平分时，求证：；
（2）如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，则该等腰三角形底边的长为__________．
解：（1）①证明：∵将绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
．
②证明：∵将绕点逆时针旋转得到，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2）解：∵中，，
，
作，垂足为，
，
解得：，
，
当时，则，
；
当时，则，
；
当时，则，
综上，该等腰三角形底边的长度为6或或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当时，动直线与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q．
①设线段的长为d，求d关于m的函数解析式；
②若，连接PB，PC构成，当m为何值时，最大，并求出其最大值；
（3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围．
解：（1），
令，则，
，
或，
；
（2）当时，，
令，则，，
设直线的解析式为，
将点B、C的坐标代入，得
，解得，
直线的解析式为，
动直线与抛物线交于点P，与直线交于点Q，
设，，
①线段PQ的长为d，
，
即d关于m的函数解析式为；
②由题意可知，，
，
，且，
当时，有最大，最大值为；
（3）若，
当时，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点，
当时，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，
结合函数图象可得， ，
若，同理可得，a的取值范围是或．