2025届河北省邯郸市高三上第一次大联考月考数学试卷（解析版）

这是一份2025届河北省邯郸市高三上第一次大联考月考数学试卷（解析版），共15页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷无效.
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】删除a后的新数据的平均数为，
则原数据的平均数也为5，因此数据总和为50，所以可得，
解得.
故选：C
2. 双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】因为双曲线方程为，所以,所以渐近线方程为,
即得，所以.
故选：D.
3. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. 45B. 90C. 180D. 240
【答案】B
【解析】由得，，
整理得，即，
所以.
故选：B
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，
.
故选：A
5. 在三棱锥中，若侧棱长均，且底面为直角三角形，斜边，则三棱锥的外接球半径R为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】因为三棱锥的三条侧棱相等，
所以顶点在底面的射影是底面的外心，
又为直角三角形，可知的外心是斜边的中点，
设中点为，所以三棱锥的外接球的球心在上，
又，可得，解得.
故选：C．
6. 两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ）
A. 80B. 70C. 40D. 35
【答案】B
【解析】因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局，
若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种；
若赛6局，则有种；若赛7局，则有种；
综上所有赛事情况种数为种，
故选：B
7. 已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线BM交椭圆E于另一点D，记直线AB，AD的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
所以，
又，
所以，
又点在上，所以，
所以，
即，由，
故选:D．
8. 已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为为偶函数，则，
所以关于对称，所以，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
当时，由得，，则，
由上可得，又在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：A．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 设复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，选项A正确；
因为，
所以，选项B正确；
因为，
,
所以，选项C错误；
因为，所以，选项D正确；
故选：ABD．
10. 已知函数图象上相邻两点，若，且为奇函数，则（ ）
A.
B.
C. 函数为偶函数
D. 函数在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】和相邻交点间距是或，
即相邻交点的间距是或（是正弦函数的最小正周期）
因为为相邻两点且纵坐标相同，
设为的周期，所以或，
所以或，
所以或，又，
所以或，又，所以，选项A错误；
由为奇函数，
所以，即，
又，所以，选项B正确；
由上可知，为偶函数，选项C正确；
令，可得，
取，可知函数区间上单调递增，选项D错误；
故选:BC．
11. 已知函数的定义域为，且，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】令得，则，即，
对于A，令得，，所以，故A正确；
对于B，，，，
所以，故B错误；
对于C，由知，当时，，
则有，，
所以，故C正确；
对于D，当且时，由得，
，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知集合，若，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】易知，因为，所以，
所以，即．
可得实数a的取值范围是.
故答案为：
13. 用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则SA与底面所成的角为______，圆锥的表面积与球O的表面积的比为______．
【答案】①. ②.
【解析】由题意可知球心在圆锥的高上，设底面的半径为，球的半径为，则，则，
所以，
因为与底面所成的角为，所以，
故．
由上可知圆锥的表面积为，
所以圆锥的表面积与球的表面积的比为．
故答案为：；.
14. 已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为______．
【答案】
【解析】若，由，可得，
所以，即，
若，则有，所以，即，
故的最小值为．
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 体育老师想了解高三（1）班男学生100米达标情况，首次随机抽查了12名男学生，结果有8名学生达标，4名学生没有达标．
（1）现从这12名男学生中随机抽取3名，用X表示抽取的3名学生中没有达标的人数，求X的分布列和期望；
（2）为了提高达标率，老师经过一段时间的训练，第二次测试达标率增加了，现从该班男学生中任意抽取2人，求至多两次测试后，这两人全部达标的概率．
解：（1）由题意的可能取值为，
则有，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的期望为；
（2）由题意可知首次达标的概率为，
首次不达标第二次达标的概率为，
所以两位学生都首次就达标的概率为，
两位学生一位首次达标，另一位首次不达标而第二次达标的概率为，
两位学生首次都不达标，第二次达标的概率为，
所以至多两次测试后，两位学生全部达标的概率为．
16. 已知函数．
（1）当时，求y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，
则，
所以，
所以在点处的切线方程为，
即．
（2）令可得或，对两个方程分别讨论，
①设，则，
所以在单调递增，且，
所以存在唯一的零点，使，即，
②令，即，
设，可得，
则在上单调递增，又且时，，
当时，存在唯一的零点，
使，即，
若时，得，则，
可得，故，
所以且时，有两个不同的零点；
综上，实数取值范围为．
17. 已知四面体ABCD中，和是边长为2的正三角形，点E，F，H分别在AD，BD，CD上，且，若面．
（1）求FD的长；
（2）求直线BA与平面BEH所成角的正弦值．
解：（1）取的中点，连接，
由已知，得，又且都在面内，
所以面，又面，
所以面面，面面，面面，
所以，
在中，所以，
故
（2）由题意，得，因为，所以，
以为原点，直线分别为轴，轴，过点与面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，得，
取，得
设直线与平面所成角的为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点，且，线段AB的垂直平分线与x轴交于点．
（1）求的值；
（2）求面积的最大值．
解：（1）由题意抛物线的焦点为，则，
可得，设Ax1,y1，，
联立，得，，
所以，，
又，可得，
由，得或，
设的中点坐标为，则，
所以的垂直平分线方程为：，
将代入整理得，令，即得；
（2）由（1）得
，
又点到直线的距离，
则的面积为，
，
令，设，则，
令，解得，令，解得，
则在单调递增，在上单调递减，
所以当时，，即的最大值为，
所以面积的最大值为．
19. 已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列．
（1）写出数列的阶差数列；
（2）若数列的首项阶差数列，求的通项公式；
（3）若数列首项，且，求数列的最小值．
解：（1）由题意，
得，；
，所以2阶数列为．
（2）因为，又，所以，
所以，
累加得，即，
所以．
（3）因为，及，得，
又，所以，两边同除，得，
当时，
，
所以，时也满足，
所以，
令，则，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增
而，所以，即时，取得最小值为．0
1
2
3