专题11 排列组合与二项式定理(13类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17969" 题型01 加法计数原理和乘法计数原理综合 PAGEREF _Tc17969 \h 1
\l "_Tc17231" 题型02 排队问题 PAGEREF _Tc17231 \h 2
\l "_Tc3602" 题型03涂色问题 PAGEREF _Tc3602 \h 3
\l "_Tc26404" 题型04分组分配问题 PAGEREF _Tc26404 \h 4
\l "_Tc28876" 题型05 二项展开式第项 PAGEREF _Tc28876 \h 5
\l "_Tc4714" 题型06求指定项的二项式系数 PAGEREF _Tc4714 \h 5
\l "_Tc14908" 题型07二项式系数和 PAGEREF _Tc14908 \h 6
\l "_Tc889" 题型08 求指定项的系数 PAGEREF _Tc889 \h 7
\l "_Tc29083" 题型09 由系数确定参数 PAGEREF _Tc29083 \h 7
\l "_Tc26073" 题型10 系数和 PAGEREF _Tc26073 \h 8
\l "_Tc14497" 题型11系数最大（小）的项 PAGEREF _Tc14497 \h 8
\l "_Tc12144" 题型12两个二项式乘积展开式的系数问题 PAGEREF _Tc12144 \h 9
\l "_Tc17539" 题型13三项展开式的系数问题 PAGEREF _Tc17539 \h 9
题型01 加法计数原理和乘法计数原理综合
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【典例1-2】（2024·河南新乡·一模）如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种．
【变式1-1】（2023·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）．
A．26种B．31种C．36种D．37种
【变式1-2】（2023·北京·模拟预测）若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）种．
A．20B．40C．60D．80
【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 .
题型02 排队问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京西城·二模）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·浙江台州·一模）台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到44的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·北京·模拟预测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．32种D．40种
【变式1-2】（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）种.
A．B．C．D．
【变式1-3】（2024·广东·模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ）
A．6种B．12种C．24种D．48种
题型03涂色问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A．216B．360C．720D．1080
【典例1-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）种．
A．1440B．1920C．2160D．3360
【变式1-1】（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）

A．120B．26
C．340D．420
【变式1-2】（23-24高二下·江苏宿迁·期末）如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 种．
【变式1-3】（23-24高二下·广西河池·阶段练习）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数为 .
题型04分组分配问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高二下·北京丰台）2023年5月18日至19日，首届中国—中亚峰会在陕西西安成功举行.峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担A，B，C，D共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有（ ）
A．480种B．240种C．120种D．4种
【典例1-2】（2024·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
【变式1-1】（23-24高二下·北京）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18B．21C．36D．42
【变式1-2】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员1人组成3人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）
【变式1-3】（23-24高二上·北京）把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有 种．（用数字作答）
题型05 二项展开式第项
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三下·北京·阶段练习）在的展开式中，第四项为（ ）
A．160B．C．D．
【典例1-2】（2023·河南·模拟预测）在的展开式中，按的升幂排列的第三项为 .
【变式1-1】（2023·西藏拉萨·一模）二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160B．C．D．
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（ ）
A．B．C．240D．
【变式1-3】（2023·北京·模拟预测）在的二项展开式中，第四项为 ．
题型06求指定项的二项式系数
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8B．C．28D．
【典例1-2】（2023高二下·北京房山·期中）的展开式中，的系数是 ；第四项的二项式系数是 ．
【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（ ）
A．展开式中各项系数的和为B．展开式中第3项的二项式系数最大
C．展开式的常数项为D．展开式中第5项的系数最大
【变式1-2】（2024·北京·三模）在展开式中，常数项的二项式系数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1-3】（23-24高二下·浙江·阶段练习）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．56B．-56C．70D．-70
题型07二项式系数和
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A．B．240C．60D．
【典例1-2】（2023·北京朝阳·二模）已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则 ，展开式中的系数为 .
【变式1-1】（2024·北京朝阳·二模）在的展开式中，若二项式系数的和等于，则 ，此时的系数是 .（用数字作答）
【变式1-2】（2023·北京密云·三模）已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为 .
【变式1-3】（2023·北京海淀·模拟预测）在的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ．
题型08 求指定项的系数
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A．B．240C．60D．
【典例1-2】（2024·北京朝阳·二模）在的展开式中，若二项式系数的和等于，则 ，此时的系数是 .（用数字作答）
【变式1-1】（2024·北京通州·二模）在的展开式中，常数项为（ ）
A．60B．120C．180D．240
【变式1-2】（2024·北京·模拟预测）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．20C．D．40
【变式1-3】（2024·北京门头沟·一模）的展开式中常数项为 (用数字作答)
题型09 由系数确定参数
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京海淀·二模）若的展开式中常数项为32，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例1-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）在的展开式中，的系数为12，则的值为 ．
【变式1-1】（2022·北京房山·一模）若的展开式中的常数项为－20，则a=（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
【变式1-2】（2023·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为60，则实数 .
【变式1-3】（23-24高三下·北京·开学考试）若的二项式展开式中的系数为10，则 .
题型10 系数和
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京西城·二模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·北京大兴·三模）若，则 .
【变式1-1】（2023·北京·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C．1D．2
【变式1-2】（2023·北京海淀·一模）若，则（ ）
A．B．1C．15D．16
【变式1-3】（2023·北京房山·二模）若，则 ．
题型11系数最大（小）的项
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
【典例1-2】（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同.则展开式中系数最大的项是 .
【变式1-1】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（ ）项
A．2B．3C．4D．2或3
【变式1-2】（2023·上海浦东新·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 .
【变式1-3】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值
题型12两个二项式乘积展开式的系数问题
【典例1-1】（2023·北京·模拟预测）展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·北京·模拟预测）已知，则 ．
【变式1-1】（23-24高二下·北京通州·期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．10D．40
【变式1-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）的展开式中的系数是 .
题型13三项展开式的系数问题
【典例1-1】（2024·山西太原·三模）的展开式中 的系数为（ ）
A．-20B．20C．-30D．30
【典例1-2】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中常数项为 .
【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）在的展开式中，的系数是（ ）
A．168B．C．1512D．
【变式1-2】（2024·山东·二模）展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2024·河北沧州·二模）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（ ）
A．24B．27C．30D．33
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知若，则（ ）
A．5B．8C．9D．14
3．（2024·云南·一模）在自然界广泛存在且较为常见的元素包含氢（H）、氧（O）、钠（N）、镁（Mg）、铝（Al）、硅（Si）、磷（P）、硫（S）、氯（C1）、钾（K）这10种，现从这10种元素中随机选取3种，若选取的3种元素中至少包含1种金属元素，则不同选取方法种数是（ ）
A．60B．85C．100D．120
4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8B．C．28D．
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在的展开式中，常数项为（ ）
A．B．4C．D．32
6．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32B．24C．18D．12
7．（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（ ）
A．147B．C．63D．
8．（2024·四川德阳·模拟预测）的展开式中，常数项为（ ）
A．60B．C．120D．
9．（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（ ）
A．112B．56C．D．
二、填空题
10．（2024·四川成都·模拟预测）的展开式中的系数是 .
11．（2023·四川达州·一模）的展开式中的系数为，则的值为 ．
12．（2024·上海崇明·一模）的二项展开式中的系数为 ．
13．（2024·甘肃白银·一模）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 .
14．（2024·浙江金华·一模）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种
15．（2024·江西新余·模拟预测）设为虚数单位，则的展开式中，项的系数为： （结果用复数表示）.
16．（2023·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
1、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；
2、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主
涂色问题涉及到颜色种类数；
相邻区域不能同色；
（3）常采用分类讨论法，从选定两个不相邻区域开始，讨论这两块区域同色和不同色。
先分组，后分配；
分组包含①平均分②部分平均分③不平均分
（3）分组后再分配
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
（1）展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
对于，系数和就是令（如果还有，那再令）
设项系数最大则：
设项系数最小则：