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    湖南省五市十校2021-2022学年高一下学期期末联考试题——数学

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    湖南省五市十校2021-2022学年高一下学期期末联考试题——数学

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    这是一份湖南省五市十校2021-2022学年高一下学期期末联考试题——数学,共12页。试卷主要包含了8C,已知函数,若,则,函数的零点个数为等内容,欢迎下载使用。
    绝密★启用前
    2022年上学期高一期末考试
    数学
    本试卷共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
    注意事项:
    1.答题前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试卷和答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.设集合,,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次,至少击中2次的概率,先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数,指定0.1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标.因为射击3次,故以每3个随机数为一组,代表射击3次的结果,经随机模拟产生了以下20组随机数:
    572 029 714 985 034 437 863 964 141 469
    037 623 261 804 601 366 959 742 671 428
    据此估计,该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为( )
    A.0.8C.0.9
    3.设,,,,则,,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    4.已知函数(且,,为常数)的图象如图,则下列结论正确的是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    5.若,则( )
    A.B.C.D.
    6.已知,,,在下列条件中,使得成立的一个充分而不必要条件是( )
    A.B.C.D.
    7.函数的零点个数为( )
    A.1B.2C.3D.4
    8.设,,,是平面内四个不同的点,且,则向量与( )
    A.同向平行B.反向平行
    C.互相垂直D.既不平行也不垂直
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.对于任意两个向量,,下列命题中正确的是( )
    A.B.
    C.若,则D.
    10.下列命题中正确的是( )
    A.若复数满足,则B.若复数满足,则
    C.若复数满足,则D.若复数满足,则
    11.已知直线是函数的一条对称轴,则( )
    A.点是函数的一个对称中心
    B.函数在上单调递减
    C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
    D.函数与的图象关于直线对称
    12.在正三棱柱中,,点满足,其中,,则下列说法正确的是( )
    A.当时,则存在点,使得
    B.当时,则存在点,使得,,三点共线
    C.当时,则存在点,使得,,,四点共面
    D.当时,则存在点,使得
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.设(其中为虚数单位),则______.
    14.若,,,则以,为邻边的平行四边形的面积是______.
    15.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的表面积为______.
    16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点”.在中,已知,且,现以,,为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为,,,则的面积最大值为______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
    17.(本小题满分10分)
    已知函数
    (1)讨论函数的周期性和奇偶性;
    (2)若,,求的值.
    18.(本小题满分12分)
    如图,在长方体中,,分别是线段,的中点.
    (1)证明:平面;
    (2)若,直线与所成角的余弦值是,求四面体的体积.
    19.(本小题满分12分)
    读书可以增长知识,开拓视野,修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本,其中男生40名,女生60名.经调查统计,分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位:小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位:小时)的频率分布直方图.
    (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数;
    (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数;
    (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人,再从这6人中任意抽取2人,求恰好抽到一男一女的概率.
    (注:以各组的区间中点值代表该组的各个值)
    20.(本小题满分12分)
    如图,在三棱锥中,,,两两互相垂直,,分别是,的中点.
    (1)证明:;
    (2)设,,和平面所成角的大小为,求二面角的大小.
    21.(本小题满分12分)
    目前,新冠还在散发,防疫任重道远,经济下行,就业压力大,为此,国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了,两家小店,每家店各有2名员工.五一期间,假设每名员工请假的概率都是,且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假,而另一家店没有人请假,则调剂1人到该店以维持正常运转,否则该店就关门停业.
    (1)求有员工被调剂的概率;
    (2)求至少有一家店停业的概率.
    22.(本小题满分12分)
    已知的三个内角,,的对边分别为,,,且
    (1)若,判断的形状并说明理由;
    (2)若是锐角三角形,求的取值范围.
    2022年上学期高一期末考试·数学
    参考答案、提示及评分细则
    1.【命题意图】考查集合有关知识.
    【答案】B
    2.【命题意图】考查随机模拟.
    【答案】C
    3.【命题意图】考查三角,幂、指、对函数值大小比较
    【答案】D
    【解析】因为,,,所以,故选D.
    4.【命题意图】考查对数函数图象及平移变换.
    【答案】D
    【解析】因为函数为减函数,所以
    又因为函数图象与轴的交点在正半轴,所以,即
    又因为函数图象与轴有交点,所以,所以,故选D.
    5.【命题意图】考查简单三角变换
    【答案】A
    【解析】由,得故选A.
    6.【命题意图】考查逻辑用语及不等式等知识.
    【答案】A
    【解析】对于A:若,则,则,反之不行,所以是成立的充分不必要条件;
    对于B:,所以是成立的充要条件;
    对于C:取,,得不是的充分条件;
    对于D:取,,得不是的充分条件,故选A.
    7.【命题意图】考查函数零点,函数应用等知识.
    【答案】C
    【解析】在同一直角坐标系内画出函数和的图象,由图象知,函数和恰有3个交点,即函数有3个零点,故选C
    8.【命题意图】考查平面向量共线等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养.
    【答案】B
    【解析】设,,则原式可化为
    即,亦即
    所以,所以与反向平行,故选B
    9.【命题意图】考查平面向量有关概念等知识.
    【答案】AD
    10.【命题意图】考查复数概念.
    【答案】ACD
    【解析】设复数,是虚单位.
    对于A,由得,则,所以A正确;
    对于B,取,可得,所以B不正确;
    对于C,由得,,则,所以C正确;
    对于D,因为,由得,,所以D正确,故ACD
    11.【命题意图】考查三角函数的图象与性质.
    【答案】BD
    【解析】因为直线是函数的一条对称轴,
    所以,∴,
    故函数,因为,所以A错误;
    当时,,所以函数在上单调递减,故B正确;
    函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,所以C错误;
    因为,所以D正确,故选BD.
    12.【命题意图】考查向量及空间线面位置关系等知识及直观想象,逻辑推理等数学素养.
    【答案】BCD
    【解析】由题知
    对于选项A和B,当时,点在线段上,故直线与异面,所以A错误;
    当为线段的中点时,,,三点共线,所以B正确;
    对于选项C,当时,取线段、的中点分别为,,连接,
    因为,即,所以,则点在线段上.
    当位于与的交点处时,,,,四点共面,所以C正确;
    对于选项D:当时,取的中点,的中点,因为,,所以,则点在线段上,当点在点处时,取的中点,连接,,因为平面,又平面,所以
    在正方形中,.又,,平面.
    故平面,又平面,所以,所以D正确,故选BCD
    13.【命题意图】考查复数运算及复数的模概念.
    【答案】
    14.【命题意图】考查平面向量运算及几何意义.
    【答案】
    【解析】由得,于是该平行四边形的面积
    15.【命题意图】考查简单几何体的表面积
    【答案】
    【解析】由题意知,圆锥的轴截面是边长为的正三角形,圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径,即,于是该圆锥的内切球的表面积为.
    16.【命题意图】考查解三角形,基本不等式的应用等知识及数学运算,逻辑推理等数学素养.
    【答案】
    【解析】设的三个内角,,的对边分别为,,.
    由题设得,
    ∴,,

    在中,由余弦定理可得

    又,∴
    即(等号当时成立),

    17.【命题意图】考查简单三角变换、三角函数的性质等知识及数学运算等数学素养.
    【解析】
    (1)因为
    所以函数是周期为,为奇函数
    (2)由,得,即
    因为,所以,
    于是或
    故或
    18.【命题意图】考查空间线面位置关系、线线角、简单几何体体积等知识及直观想象、数学运算,逻辑推理等数学素养.
    【解析】(1)设为的中点,连接,
    则,
    又平面,平面
    所以平面,平面,
    因此平面平面
    从而平面
    (2)由(1)知,是异面直线与所成角,所以
    在中,因为,.
    所以
    因此
    19.【命题意图】考查统计应用、概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养.
    【解析】(1)由女生一周阅读时间的频率分布直方图知,阅读时间的众数是3
    设女生一周阅读时间的75%分位数为,
    解得
    (2)由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数
    由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数
    所以估计总样本的平均数
    (3)由频数分布表,频率分布直方图知,一周课外阅读时间为的学生中男生有3人,女生有(人)
    若从中按比例分配抽取6人,则男生有1人,记为,女生有5人,记为,,,,,
    则样本空间,共有15个样本点.记事件“恰好一男一女”,则
    故所求概率
    20.【命题意图】考查空间线面位置关系、线面角、二面角等知识及直观想象,数学运算、逻辑推理等数学素养.
    【解析】(1)取的中点,连接,.
    因为,分别是,的中点.
    所以,
    又因为,
    所以,
    从面平面.
    又平面,所以.
    (2)因为,,所以平面,
    所以为二面角的平面角
    又因为,,所以平面,.
    连接,则
    在中
    因为,所以平面.
    故是和平面所成的角
    即,且.
    在中,,,
    所以
    故所求二面角的大小为
    21.【命题意图】考查互斥事件、独立事件概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养.
    【解析】记事件“家小店有名员工请假”,“家小店有名员工请假”,其中
    由题设知,事件,相互独立,且

    (1)记事件“有员工被调剂”,则,
    且,互斥,所以
    故有员工被调剂的概率为
    (2)记事件“至少有1家店停业”,则
    且,,互斥,
    所以,
    故至少有一家店停业的概率为
    22.【命题意图】考查平面向量数量积,解三角形及函数性质应用等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养
    【解析】由数量积的定义得,.
    由余弦定理得

    (1)是等边三角形.
    由正弦定理及得,即
    因为,所以或
    当时,是等腰三角形,此时,所以是等边三角形;
    当,即时,是直角三角形,这与矛盾.
    故是等边三角形.
    (2)不妨设,由得,
    于是
    又因为是锐角三角形、所以,
    即,因此
    由余弦定理得,
    令,则,函数在上单调递增.
    所以,因此
    故的取值范围是
    男生一周阅读时间频数分布表
    小时
    频数
    9
    25
    3
    3

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