江苏省南京市2024-2025学年高一上册期中数学检测试题（含解析）

这是一份江苏省南京市2024-2025学年高一上册期中数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，则集合（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【详解】由，则，
所以.
故选：B
2．已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【详解】由命题，
则是，
故选：B.
3．已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．或D．
【正确答案】A
【详解】，解得或，
故使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，
其中满足要求，其他选项不满足.
故选：A
4．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【详解】对于A，因为，所以是偶函数，
当时，设，则，
所以，
所以在上单调递减，故A正确；
对于B，因为，所以是奇函数，故B错误；
对于C，因为，所以是奇函数，故C错误；
对于D，因为，所以是奇函数，故D错误.
故选：A.
5．函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【详解】令，
∵在上单调递减，
且当时，，
∴.
故选：A.
6．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【详解】由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是，
故选：C
7．如图为函数y=fx和y=gx的图象，则不等式的解集为（ ）

A．B．
C．D．
【正确答案】D
【详解】由图象可得当，
此时需满足，则，故；
当，
此时需满足，则，故.
综上所述，.
故选：D.
8．已知在上满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【详解】因为在上满足，
所以在上单调递减，
需满足以下三个条件：
（1）在上单调递减，只需；
（2）在上单调递减，此时显然，函数的对称轴为，所以只需且；
（3）在处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即；
因此由，解得，
即实数的取值范围为.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
【正确答案】BC
【详解】A.当时，，故选项A错误.
B. ∵，，∴，
∵，，∴，∴.故选项B正确.
C. ∵，∴，∵，∴，
∴.故选项C正确.
D. ∵，
∴,
∴.故选项D错误.
故选：BC.
10．已知，，，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为
【正确答案】ACD
【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，，
故，故B错误.
C选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D选项，
，
其中，，，故，
所以
，
故，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD
11．已知函数的定义域为，则（ ）
A．B．
C．是偶函数D．是奇函数
【正确答案】ABD
【详解】令，可得，故A项正确；
令，可得，令，
可得，则，故B项正确；
由，
可得，
令，则，
令，可得，
令，则，
所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知函数的图象如图所示，则 .
【正确答案】
【详解】由函数的图象，可得，则.
故答案为.
13．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
【正确答案】
【详解】，
因为，所以问题等价于在上恒成立，
其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故
14．已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ．
【正确答案】/
【详解】因为对于任意实数，满足，
当时，，
当时，，可得，则；
当时，，则.
函数的定义域为，令时，，
得，所以函数是奇函数.
令，即，得，
令，则，
又函数是奇函数，所以，所以.
故
关键点睛：本题的关键是合理赋值从而得到为奇函数，从而求出的值.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
(1)若为真，求实数的取值范围；
(2)若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）对于命题：关于x的方程有两个不相等的实数根
所以，即或，
因为真，故实数的取值范围为
（2）对于命题，因关于x的方程无实数根，
所以，即．
因为真，故实数m的取值范围为．
、有且仅有一个为真命题，所以、q一真一假，
当真假时，，即或；
当假真时，，即．
综上所述：实数的取值范围为．
16．（15分）已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足.
(1)求函数和的解析式；
(2)对任意实数，恒成立，求的取值范围.
【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，
可得，解得，
由于，故，
当时，，此时为奇函数，不符合题意，
当或时，，此时为偶函数，符合题意，
故；
由，可得，令，
所以，
故.
（2）由，恒成立，
可得，恒成立.
又，所以当时，取得最小值，
故，即的取值范围为.
17．（15分）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
【正确答案】(1)
(2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）
【详解】（1）由题意可得，
所以.
（2）当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
18．（17分）已知幂函数的图象经过点.
(1)求的解析式.
(2)设函数.
①判断的奇偶性；
②判断在上的单调性，并用定义加以证明.
【正确答案】(1)
(2)①为奇函数；②在上单调递减，证明见解析
【详解】（1）依题意，设幂函数，
则，解得，
所以.
（2）①为奇函数，理由如下：
由（1）得，，
则其定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为奇函数；
②在上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
19．（17分）已知函数，，，.
(1)若关于的不等式的解集为或x>2，求实数，的值；
(2)当时，图像始终在图象上方，求实数的取值范围；
(3)当时，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【正确答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以且方程的两根为，，
所以，解得，.
（2）当时，，
因为函数的图象始终在图象上方，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，不恒成立，所以不合题意；
当时，依题意得，解得.
综上，实数的取值范围为.
（3）当时，，记.
当时，，
所以当时，
，记.
因为对任意，总存在，使得成立，
所以，
所以，解得.
实数的取值范围为.