考点54圆锥曲线中求值与证明问题-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）

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【核心题型】
题型一 求值问题
求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解
【例题1】（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（ ）

A．1,0B．
C．D．0,1
【变式2】（2024·四川德阳·模拟预测）过点作直线交椭圆于，两点，其中在线段上，则的取值范围为 .
【变式3】（2024·贵州黔南·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的倾斜角为90°，求的值.
题型二 证明问题
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
【例题2】（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
【变式1】（2024·福建福州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线交于两点.
（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；
（ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.
【变式2】（2021·广西柳州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)椭圆上有两点，（异于椭圆顶点且与轴不垂直），当的面积最大时，证明：直线与的斜率之积为定值.
【变式3】（2024·四川巴中·模拟预测）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
二、多选题
4．（2024·贵州黔南·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4
B．若，则
C．若，则直线的方程为
D．直线的倾斜角的最小值为
5．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，若的面积为，则 .
7．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 .
四、解答题
8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点，的焦距为．
(1)分别求和的方程；
(2)如图，过点的直线（斜率大于0）与双曲线和的左、右两支依次相交于点、、、，证明．
9．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A−2,0，两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：
（ⅰ）存在常数，满足；
（ⅱ）的面积为定值．
10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程；
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2021·广西柳州·一模）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的的弦中最短的弦长为8，点在上，是线段上靠近点的五等分点，则（为坐标原点）的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（ ）
A．B．弦的中点到轴的距离为
C．D．点的坐标为
7．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江西新余·模拟预测）焦点为的抛物线上有一点（在第一象限），将关于直线对称得到，与轴交于两点，，则直线的斜率为（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线的右焦点为F，过原点O作斜率为k的直线交双曲线于A，B两点，且，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·浙江·二模）设双曲线与直线交于与两点，则可能有（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·河南·三模）设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（ ）．
A．C的离心率为B．
C．D．
三、填空题
12．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ．
13．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，记的面积分别为，则 ．（结果用表示）
14．（2024·北京·模拟预测）设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题
15．（2024·天津·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为．
①证明四边形是菱形；
②若，求椭圆的方程．
16．（2024·全国·模拟预测）已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足．
（ⅰ）求斜率的取值范围；
（ⅱ）证明：点恒在一条定直线上．
17．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点.
18．（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为．
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
19．（2024·宁夏银川·一模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率，且点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：线段的中点在直线上；
(3)过点作轴的平行线，与直线的交点为，证明：点在以线段为直径的圆上．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·浙江·二模）设椭圆的弦AB与轴，轴分别交于两点，，若直线AB的斜率，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多选题
5．（2024·陕西·一模）已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的焦点坐标为
B．曲线过点
C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为
D．若曲线在的上方，则
6．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的方程为
B．已知点，则的最小值为3
C．
D．若，则与的面积相等
三、填空题
7．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 .
8．（2024·山西太原·二模）已知双曲线C：（，）的右焦点是，动点（）在C上．若过点P作C的切线与直线相交时，记其交点为Q，恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题
9．（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值.
10．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值.