吉林省白城一中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省白城一中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）半径为2cm的圆上的一条弧长为6cm，则此弧所对圆心角的弧度数是（ ）
A．1.5B．2C．3D．12
2．（5分）已知函数，若对任意的正数a，b，满足f（a）（2b﹣2）＝0，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）（4﹣x），当﹣2≤x＜0时，f（x）＝，则f（）＝（ ）
A．﹣2B．C．D．2
4．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④
5．（5分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②；③；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（5分）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|x2﹣x＝0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，1，0}B．{﹣2}C．{1}D．{0}
7．（5分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（ ）
A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝
8．（5分）已知圆锥的体积为Sh，其中S为圆锥的底面积，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为（ ）
A．cmB．.cmC．.cmD．.cm
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+1≥0
B．∃x∈N，2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
（多选）10．（5分）如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，下列函数是“[0，1]交汇函数”的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝1﹣x2D．y＝
（多选）11．（5分）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0），…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（ ）
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点（0，3）
C．顶点是（﹣2，﹣2）
D．过点（3，0）
（多选）12．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．若任意x1、x2∈I，当x1＜x2时，，则y＝f（x）在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数在定义域上是减函数
D．函数的单调区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知函数f（x）＝lga（x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x、y的方程mx+ny＝4（m＞0，n＞0），则 ．
14．（5分）在与弧度数为2021角终边相同的角中，绝对值最小的角是 ．
15．（5分）求值：＝ ．
16．（5分）如图，单位圆上有一点P0（，），点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知且，求的值．
18．已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求函数f（x）的解析式，并求出它的定义域；
（2）求满足f（1+a）＞f（3﹣a）的实数a的取值范围．
19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）；
（Ⅱ）直接写出当x＜0时f（x）的解析式；
（Ⅲ）讨论直线y＝m（m∈R）与y＝f（x）的图象的交点个数．
20．若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积．
21．计算下列各式
（1）；
（2）已知x+x﹣1＝3，求下列各式的值：
①；
②．
2024-2025学年吉林省白城一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）半径为2cm的圆上的一条弧长为6cm，则此弧所对圆心角的弧度数是（ ）
A．1.5B．2C．3D．12
【分析】直接使用弧长公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：由弧长公式l＝αr，可得α＝，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长公式的应用，学生的数学的运算能力，属于基础题．
2．（5分）已知函数，若对任意的正数a，b，满足f（a）（2b﹣2）＝0，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】分析函数f（x）的单调性和奇偶性，可得出a+2b＝2，利用乘1法展开后利用基本不等式可求 的最小值．
【解答】解：对任意的x∈R，ex+1＞0，所以函数f（x）的定义域为R，
因为f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，又因为f（x）＝，且函数 y＝ex+1 在R上为增函数，
所以函数f（x） 在R上为增函数，
对任意的正数 a、b满足f（a）+f（7b﹣2）＝0，
则f（a）＝﹣f（4b﹣2）＝f（2﹣7b），
所以a＝2﹣2b，即a+4b＝2，
所以＝＝2＝3，
当且仅当a＝2b且a+2b＝5，即a＝1时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
3．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）（4﹣x），当﹣2≤x＜0时，f（x）＝，则f（）＝（ ）
A．﹣2B．C．D．2
【分析】根据条件判断函数的对称性，结合函数的奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝f（4﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，
∴f（）＝f（），
又∵函数f（x）为奇函数，
f（）＝﹣f（﹣，
即f（）＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数的奇偶性和对称性，进行转化求解即可．
4．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④
【分析】对于①，根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，从而得到①正确；对于②，根据对称轴得到b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝0，从而得到②正确；对于③，由图象可得a﹣b+c＝0，从而得到（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＝0；对于④，根据图象得到a+b+c≤am2+bm+c，从而得到④正确．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴左侧交点为（﹣1，8），
对于①，由图象可知，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，﹣＞4，
∴a＞0，b＜0，①结论正确；
对于②，∵抛物线对称轴是直线x＝，
由图象可知，当x＝﹣1时，②结论错误；
对于③，由图象可知，y＝a+b+c＜5，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＝8，③结论错误；
对于④，∵当x＝1时，∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤m（am+b），④结论正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数性质的综合应用，属于中档题．
5．（5分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②；③；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据题意，依次分析所给的四个函数的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：
对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，+∞）上是减函数；
对于②，在（3；
对于③，为反比例函数，+∞）上是增函数；
对于④y＝|x|，当x＞0时，即其在（5；
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．
6．（5分）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|x2﹣x＝0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，1，0}B．{﹣2}C．{1}D．{0}
【分析】首先化简集合B，再根据交集的定义计算可得．
【解答】解：因为A＝{﹣2，1}6﹣x＝0}＝{0，3}，
所以A∩B＝{1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（ ）
A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝
【分析】根据题意计算f（x）+f（﹣x）的值即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，
所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．
8．（5分）已知圆锥的体积为Sh，其中S为圆锥的底面积，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为（ ）
A．cmB．.cmC．.cmD．.cm
【分析】利用注入的水的体积与杯中水的体积相等能求出结果．
【解答】解：假设注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的水面半径为xcm，
则杯中水的高度h＝＝2xcm，
则由注入的水的体积与杯中水的体积相等得：
，
解得x＝．
∴杯中水的高度h＝cm．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+1≥0
B．∃x∈N，2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
【分析】结合含有量词的命题的真假关系检验各选项即可判断．
【解答】解：对A，是全称量词命题，A正确；
对B，是真命题，B错误；
对C，是全称量词命题，C正确；
对D，是真命题，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了全称量词命题及存在量词命题的真假关系的判断，属于基础题．
（多选）10．（5分）如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，下列函数是“[0，1]交汇函数”的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝1﹣x2D．y＝
【分析】分别求出各函数的定义域及值域，即可判断．
【解答】解：A：函数的定义域及值域都为[0，+∞）；
B，函数的定义域（﹣∞，值域为[0，交集为[6，符合题意；
C：函数定义域为R，值域为（﹣∞，不符合题意；
D：函数定义域为[﹣1，1]，2]，1]．
故选：BD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数定义域及值域的求解，属于基础题．
（多选）11．（5分）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0），…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（ ）
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点（0，3）
C．顶点是（﹣2，﹣2）
D．过点（3，0）
【分析】分别利用二次函数的对称性及二次函数图像上点的坐标性质进行判断即可
【解答】解：因为二次函数的图像过（1，0），
所以图像与x轴的另一个交点为（4，0），所以A，
由已知得f（1）＝0且﹣＝2，c＝3a，
所以二次函数为y＝a（x4﹣4x+3），其顶点的横坐标为5，﹣2），
当a＝1时，与y轴交于点（3，所以B正确．
故选：ABD．
【点评】此题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
（多选）12．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．若任意x1、x2∈I，当x1＜x2时，，则y＝f（x）在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数在定义域上是减函数
D．函数的单调区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【分析】根据题意，由函数单调性的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对任意x1、x2∈I，当x5＜x2时，，则f（x1）＜f（x2），
所以，函数y＝f（x）在I上是增函数；
对于B，二次函数y＝x4是二次函数，在R上不单调；
对于C，函数
由图象可知，函数，C正确；
对于D，函数，0）和（2，但该函数在（﹣∞，+∞）上不单调．
故选：AC．
【点评】本题考查函数单调性的定义和判断，注意函数单调性的定义，属于基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知函数f（x）＝lga（x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x、y的方程mx+ny＝4（m＞0，n＞0），则 4 ．
【分析】求出点A的坐标，可得出2m+n＝2，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
【解答】解：令x﹣3＝1，可得x＝6a1+2＝3，
所以，函数f（x）的图象恒过定点A（4，
由已知条件可得4m+7n＝4，即2m+n＝8，
又因为m、n都为正数，则
，
当且仅当时，即当时，因此，．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
14．（5分）在与弧度数为2021角终边相同的角中，绝对值最小的角是 2021﹣644π ．
【分析】先写出与弧度数为2021角终边相同的角为2021+2kπ（k∈Z），然后结合k的值可求．
【解答】解：与弧度数为2021角终边相同的角为2021+2kπ（k∈Z）
所以绝对值最小的角是2021﹣644π
故答案为：2021﹣644π
【点评】本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
15．（5分）求值：＝ ．
【分析】直接利用两角和的余弦函数化简求解即可．
【解答】解：＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的应用，考查计算能力．
16．（5分）如图，单位圆上有一点P0（，），点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是 ．
【分析】先求出∠POx＝，再求出旋转后的角的度数，即可求出答案．
【解答】解：单位圆上有一点P0（，），则∠POx＝，
点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动+＝，
∴点P的坐标为（﹣，），
即点P的纵坐标y＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形函数的定义，属于基础题．
四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知且，求的值．
【分析】根据给定条件，由同角公式及二倍角的余弦公式计算得解．
【解答】解：由得csθ＜0，
因为，所以，
又，则，而＝﹣，
所以cs＝﹣＝﹣，
所以．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
18．已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求函数f（x）的解析式，并求出它的定义域；
（2）求满足f（1+a）＞f（3﹣a）的实数a的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求函数f（x）的解析式．
（2）由（1）可知f（x）的定义域为[0，+∞），且在[0，+∞）上递增，利用定义域和单调性列出不等式组，即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）设f（x）＝xα，代入点得，
解得，
即，
故函数f（x）的定义域为[8，+∞）．
（2）由于f（x）的定义域为[0，+∞），+∞）上递增，
由已知f（1+a）＞f（8﹣a）可得，
解得：1＜a≤3，
故a的范围是（5，3]．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，考查了利用函数的单调性解函数值不等式，是基础题．
19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）；
（Ⅱ）直接写出当x＜0时f（x）的解析式；
（Ⅲ）讨论直线y＝m（m∈R）与y＝f（x）的图象的交点个数．
【分析】（Ⅰ）两个抛物线各取一部分；
（Ⅱ）f（x）＝
（Ⅲ）结合图象可得．
【解答】解：（Ⅰ）：函数图象如右图：
（Ⅱ）f（x）＝（6分）
（Ⅲ）设交点个数为g（m）
当m＞5时，g（m）＝8；
当m＝5时，g（m）＝2；
当7＜m＜5时，g（m）＝4；
当m＝2时，g（m）＝3；
当m＜1时，g（m）＝5
综上所述，g（m）＝
（没有写出分段形式答案不扣分）．
【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．
20．若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积．
【分析】先将圆心角化为弧度数，再根据扇形的弧长和面积公式计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
因为，
所以，解得r＝25，
所以，
所以扇形的半径为25，面积为375π．
【点评】本题考查扇形的弧长和面积公式，属于基础题．
21．计算下列各式
（1）；
（2）已知x+x﹣1＝3，求下列各式的值：
①；
②．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解；
（2）①根据完全平方和公式化简计算可得，结合开平方即可；
②根据公式，结合①计算即可求解．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）①∵，
∴，
又由x+x﹣1＝3得x＞4，
∴，
所以；
②（法一）＝，
（法二），
而x3+x﹣6＝（x+x﹣1）（x2+x﹣2﹣1）＝（x+x﹣1）[（x+x﹣8）2﹣3]＝5×（32﹣7）＝18，
∴，
又由x+x﹣3＝3＞0得x＞7，
∴，
所以．
【点评】本题主要考查实数指数幂，考查运算求解能力，属于基础题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
A
C
C
C