甘肃省庆阳市宁县第二中学2024−2025学年高一上学期第一次月考 数学试题

这是一份甘肃省庆阳市宁县第二中学2024−2025学年高一上学期第一次月考 数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，那么的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．设全集为，如图所示的阴影部分用集合表示为（ ）
A．B．C．D．
6．中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A．①③B．①②C．③④D．②④
7．已知集合，.若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，且，则的最小值为9
10．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设正实数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是B．的最小值是8
C．的最小值为D．的最大值为2
三、填空题（本大题共3小题）
12．下列各组函数表示同一个函数的是 ．
（1）
（2）
（3）
（4）
13．若使不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 .
14．若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知全集，，
(1)求；
(2)求：
(3)求.
16．设集合
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为.
(1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？
(2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？
18．设函数
(1)若，求的解集．
(2)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
(3)解关于的不等式：．
19．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，．
(1)求，的值；
(2)若，解不等式组．
参考答案
1．【答案】D
【详解】集合，，
所以.
故选：D
2．【答案】B
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B.
3．【答案】A
【详解】由可得，所以.
故选：A
4．【答案】A
【详解】由题知集合是的真子集，由，可得，
由，可得；
当时，，此时，符合题意；
当时，，无解，所以为空集，符合题意；
当时，，此时，符合题意，
综上，实数的取值范围是．
故选：A
5．【答案】B
【详解】根据集合的运算可知，阴影部分用集合表示为.
故选：B
6．【答案】C
【详解】对应关系若能构成从到的函数，
须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应，
对于①，，当时，，故不满足题意；
对于②，，当时，，故不满足题意；
对于③，，当时，，当时，，
当时，，当时，，故满足题意；
对于④，，当时，，
当时，，当时，，故满足题意．
故选：C.
7．【答案】A
【分析】先求出集合A，再根据子集关系求参.
【详解】因为.又因为，所以，解得.
故选A.
8．【答案】D
【详解】当x∈−1,1时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在−1,1上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
9．【答案】AD
【分析】首先可通过也有可能是负数得出A；通过全称命题的否定是特称命题判断出B；通过判断出C；利用基本不等式可判断出D．
【详解】A．若，则；若，则也有可能是负数，
故“”是“”的充分不必要条件，正确，符合题意；
B．命题“”的否定是“”，错误，不符合题意；
C．若，，则，错误，不符合题意；
D．若，且，则，
当且仅当时，即时，取等号，故最小值为9，正确，符合题意；
故选AD．
10．【答案】CD
【详解】由，解得，所以，
所以，A错误；
因为，所以，B错误；
因为，所以，C正确；
，
所以，D正确；
故选:CD.
11．【答案】ABD
【详解】正实数，满足，
，当且仅当，即，时取等号，解得，A错误；
，当且仅当时取等号，B错误；
，当且仅当，时取等号，C正确；
，且仅当，时取等号，故，D错误．
故选：ABD．
12．【答案】（1）（4）
【详解】对于选项（1），因为，
所以两个函数的定义域均为，且对应关系也相同，
所以是同一个函数，故（1）正确；
对于选项（2），因为，
两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故（2）错误；
对于选项（3），因为的定义域为，
的定义域为，
所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故（3）错误；
对于选项（4），因为，
所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故（4）正确．
故答案为：（1）（4）.
13．【答案】
【解析】因为使不等式成立的一个充分不必要条件是，
则
14．【答案】
【详解】由，，当且仅当，即时等号成立，
命题“，使得成立”是真命题，所以，
所以，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），，
所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，
当，得；
当，得．
综上所述：实数的取值范围为．
（2）由得，
由是的充分不必要条件，所以，
即且等号不同时成立，得实数的取值范围为．
17．【答案】(1)长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为.
(2)
【详解】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，
则所需篱笆的长度为，又，
当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短，
此时该菜园的总面积为；
（2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为，
则，
当且仅当即时，等号成立，
此时另一边为，
即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小.
18．【答案】(1)的解集为
(2)的取值范围是
(3)当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【详解】（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为.
（2）由对一切实数恒成立，等价于恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意．
当时，则满足，即，解得，
所以的取值范围是．
（3）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为．
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为．
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19．【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可；
（2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可.
【详解】（1）由题意，可知，
，
解得，；
（2）由（1）知，，
因为，
所以，，
所以，，
所以．
所以，
，
由，得，
由，得，
综上，原不等式组的解集为.