2025北京延庆高二上学期期末数学试卷和参考答案

这是一份2025北京延庆高二上学期期末数学试卷和参考答案，共11页。
2025.1
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（6）
a  b  0
1A B C D1 1
ABCD 
C
3 1
P
8
z  2  4i
1 i
3i
2
3
4
z
B2 △ 1F B F1 2
 y  a  0 (x 1)2  y2  2
a
P
C : 
2 y2
4 12
C : y2 12x
F M C
 6
2
2
2 y2
C :  1 a b
1
2
7
| MF |
4
3i
2
y2
3
x 
3
1
3
1
5
6
3
4
E CD
3
3 1
2 3
3
4 3
1
2 2
1
6
4
3
1A B BA1
B1
3

2
D E1 / /
1F F2
M
EB1  AD1
7
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（1）复数 ，则 的虚部为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）双曲线 的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）若直线 与圆 相切，则实数 的值为
（A）
（B）
（C） 或
（D） 或
（4）已知 是双曲线 上的动点，则 到双曲线两个焦点距离之差的绝对
值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 的距离为
， 则
（A）
（B）
（C）
（D）
已知椭圆 的左右焦点为 ， ，上下顶点为 ，
，若 为等腰直角三角形，则椭圆 的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）如图，在正方体 中， 是棱 上的 动点．则下列结论不正确的是
（A） 平面
（B）
A N1
3 BE  CF
E 
EB1
A B1 1  A
y  kx  2 k
15  0
x2  y2  8x 1
2 y2
m  3
 1
3  m 1 m
y
△MEF
ABCD

3 AB  BC  4

5
4



2
3
C

4
3
AA1
A D1 1CB
C
ABCD  A B C D1 1 1 1 EF  2 3
△MD N1
4 2
1
4 M
4  2 3
5  2 3
6  2 5
（C）二面角 的大小为
（D）直线 与平面 所成角的大小不变
（8）“ ”是“方程 表示焦点在 轴上双曲线”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（9）已知圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以
该点为圆心，半径为 的圆与圆 有公共点，则 的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）如图，在长方体 中， ，
， ， ， ， 是平
面 上的动点，且满足 的周长为 ， 则 面积的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 （非选择题
共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）以 A2, 4, B 2, 2 为直径 的两个端点的圆的标准方程是 ．
（12）若抛物线 x2  2 py( p  0) 的焦点与椭圆 4 3
y2 x2
 1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为
．
2
（13）已知直线 y  kx 1与双曲线 x4  y2 1 的一条渐近线垂直，则斜率 k 的一
个取值是 ．
（14）“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形 成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线 照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛 物线C : y2  4x ，一条光线经过 M 4, 3 ，与 x 轴平行照射到抛物线上 的点 A 处，第一次反射后经过抛物线的焦点 F 到抛物线上的点 B 处， 第二次反射后经过 N (4, y2 ) ，则 A 的坐标为 ，| MA |  | AB |  | BN | 的值为 ．
2
B
A
（15）已知曲线C : 4y  x | x | 4 ，点 F ( 3, 0) ，下面有四个结论：
①曲线C 关于 x 轴对称；
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C 与 y 轴围成的封闭图形的面积大于 2 ；
C 上任意点 P 满足| PF |≥ 2 ；
C 与曲线(x  2y  m)(x  2y  m)  0, (m  R) 的交点个数可以是0 个、 2 个、
3 个、 4 个．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题 13 分）

f (x) sin x cs x sin2
1
x ( 2
0)



已知函数     ．
（Ⅰ）若  1 ，当 x [ ,  ] 时，求 f (x) 的最大值和最小值及相应的 x ；

（Ⅱ）若函数 f (x) 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，求 的值和 f (x) 的单调递增区间． 4
（17）（本小题 13 分）
在△ABC 中， A 为钝角， a  7 ，sin 2B  3bcs B ．
7
（Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）若b  3 ，求△ABC 的面积．
（18）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA  AB  2 ， PA  AD ， E 为线段 PD 上的 中点．
（Ⅰ）求证： PB // 平面 ACE ；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使 得 PA  平面 ABCD ，并求直线 PC 与平面 ACE 所成角的 正弦值和二面角 E  AC  B 的余弦值．
条件①： PB  2 3 ；
条件②： PB  PD ；
条件③：平面 PAD  平面 ABCD ．
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（19）（本小题 15 分）
已知椭圆的中心是坐标原点O ，它的短轴长为 22 ，一个焦点 F 的坐标为
，点T 的坐标为 ，且椭圆两个焦点之间的距离为 4 ．(  c, 0)
c
( , 0)c (c  0)
10
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）如果过点 F 且斜率为1的直线与椭圆相交于点 M ， N 两点，求△OMN 的面积； （Ⅲ）如果过点T 的直线与椭圆相交于点 P ，Q 两点，且OP  OQ ，求直线 PQ 的斜率．
（20）（本小题 15 分）
已知椭圆C : x2a2  b2  1a  b  0的离心率为 ，右焦点为 F ，点 Aa,0 ，且 AF  1 ，过点 Fy2
的直线l （不与 x 轴重合）交椭圆C 于点 M ， N ，直线 MA ， NA 分别与直线 x  4 交于点 P ，Q . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若| PQ |≤12 ，求直线l 斜率的取值范围；
（Ⅲ）判断点 A 与以 PQ 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.
（21）（本小题 15 分）
设正整数 n ≥ 4 ，若由实数组成的集合 A  a1, a2 , 任意四个不同的元素 a b c d, , , ，均有 ab  cd  A ., an 满足如下性质，则称 A 为 Hn 集合：对 A 中
1 1
例如，判断 A  {0, ,1,3}是否为 H4 集合：当 ab  0 时，此时 ab  cd  3 A ；
3 3
1
当 ab  0 1时，此时 ab  cd  1 A ；当 ab  0  3 时，此时 ab  cd   A .所以 A  {0,1,1,3}是 H4 集合.
3 3
1  1 
（Ⅰ）判断集合 A1  0, ,1, 4和 A2   ,1, 2,3是否为 H4 集合；
4  3 
（直接写出答案，结论不需要证明）
（Ⅱ）若集合 A  { 1,1, x y, } 为 H4 集合，求出所有集合 A ，并说明理由；
（Ⅲ）若集合 A  a1, a2 , a3 , a4 为 H4 集合，求证： A 中元素不能全为正实数．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）C （4）B（5）A
（10）D
（6）B （7）D （8）C （9）A
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） x2 （y 1 2）13 （12） y 1
（13） 2 或 2 （两个都答不给分）
9
（14）( , 3) ，10 （注： 第一问 3 分，第二问 2 分）
4
（15）①②④ （注：对一个 2 分，两个 3 分，有选错 0 分） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）

解：
2 2 2
6 6
sin(2x  )

所以2 1
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……4 分
sin 2x  

sin 2xcs  cs2xsin

6
3
1
cs2x 1

f x( )  sin(4x  )
6
由   2k  4x    2k
 
2 6 2
……11 分
……2 分
……3 分
……13 分
……1 分
……9 分
……10 分
……5 分
……7 分
f x( )  3sinxcsx  sin x 
2
[ ,
]
3

6
由 x [ , ] ，可得 2x 
（Ⅰ）当  1 时， f x( )  sin(2x  )
7   4
12 12 6 3
 
6 2 6
当 2x   时， f (x) 取最小值 
2


当 2x   时， f (x) 取最大值1，此时 x 

4
6
，此时 x 
3 7
2 12
（Ⅱ）因为函数 f (x) 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 
4
T    ，且  0 ，所以  2 ，
| 2| 2
3
k  k
得 f (x) 的单调递增区间为[  ,  ],k Z
解：（Ⅰ）由题意得 2sin B cs B  37 b cs B ，因为 A 为钝角，
6 2 12 2
（17）（共 13 分）
7……2 分
3
得cs B  0 ，则 2sin B  b ，
sin A sin B
a b
由正弦定理 
得 
，
 ，解得sin A 
sin A sin A 2
……4 分
3
b 2 a 7……5 分
sin B
7
……7 分
……9 分
2 2
因为 A 为钝角，则 A  2π3 .
（Ⅱ）当b  3 时，
由余弦定理 a2  b2  c2  2bc cs A ，
得 49  9  c  6c cs ，
3
解得c  5……10 分
bcsin A  53
则 S ABC  ……13 分
23 
154 3 .
（18）（共 14 分）
（Ⅰ）证明：设 BD 交 AC 于点 O，连结OE .
因为底面 ABCD 为正方形，所以 O 是 BD 中点， E 为线段 PD 上的中点
所以OE 是 PBD 的中位线 所以 PB / / OE ，
OE 平面 ACE ，
PB  平面 ACE ，
……1 分
……2 分
……3 分
……4 分
所以直线 PB / / 平面 ACE ．
（Ⅱ）解：选择②， PB  PD ，又因为底面 ABCD 为正方形， PA  AD
可得 PAB  PAD ，所以 PA  AB ，所以 PA 平面 ABCD ， ……5 分
以 A 为原点，AB AD ， 的方向分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标AP
，
系，则 A(0, 0, 0) ， B(2, 0, 0) ， C(2, 2, 0) ， D(0, 2, 0) ， P(0, 0, 2) ， E(0,1,1) ，
AE  (0,1,1) , AC  (2, 2, 0) , PC  (2, 2, 2) 设平面 ACE 的法向量为 n  (x y z, , )……6 分
由  ，得 n  (1, 1,1) ；
n AC  2x  2y  0
……8 分
n AE  x  z  0
设直线 PC 与平面 ACE 所成角为 θ．
则sin | cs  n PC, |   ．
| n || PC | 3| n PC | 1
……10 分
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1
∴直线 PC 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ．
3
设二面角 E  AC  B 的为 ， 为钝角，
平面 ABCD 的法向量为 m  (0, 0,1)
n m
cs   | cs  n m, |   | |
| n || m |
……11 分
……13 分
3
，
3
……14 分二面角 E  AC  B 的余弦值为  33 ．
选择③，平面 PAD  平面 ABCD ，又因为平面 PAD 平面 ABCD  AD ， PA  AD ，
PA  平面 PAD ，所以 PA 平面 ABCD ， 选择①，错误
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在 x 轴上，标准方程设为 x2a2  y2b2  1a  b  0
所以椭圆 C 的方程为  1，x2 y2
……4 分
6 2
……5 分
……6 分
（Ⅱ）过点 F 且斜率为1的直线方程为 y＝x  2 ，
 y  x  2，
2
 1，
椭圆离线率e  63 ．
联立  x2 y2 得 4x 12x  6  0 ．
 6 2
……7 分
则 x1  x2  3 ， x x1 2  3 ．
2
……9 分| MN | 1 k2 (x1  x2 )2  4x x1 2  6
OMN 的高 h  | 2 | 
2
S OMN  1 | MN | h 
……10 分
2
（Ⅲ）当直线过点T 且斜率存在时，设方程为 y＝k x( 3) ，
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（Ⅰ）解：由题意得  a 2 解得 a  2,c 1 ，
得(3k2 1)x2
y  k  x  3
，
2 2
联立  x2 y2 18k x  27k  6  0 ．……11 分
  1，
6 2
2
2
18k 27k  6
2 ， x x1 2  ．则 x1  x2
……12 分
2
3k 1 3k 1
因为过点T 的直线与椭圆相交于点 P ，Q 两点，且OP  OQ ，
设 P x(1, y1 ),Q x(2 , y2 ) ，知＞0 成立， x x1 2  y y1 2  0 ……13 分
2
y y1 2  k(x1  3)k(x2  3)  3k
3k2 1
2 25
1 2
1 2
3k2 1 3k2 1
5
……15 分
x  y y  27k  6  3k  0，解得 k  
，经检验可知＞0
当斜率不存在时，OP  OQ 不成立。
（20）（共 15 分）
c  1，

a  c 1，
……2 分
……3 分从而b 

a2  c2 
3 ，
所以椭圆 C 的方程为  1．x2 y2
……4 分
4 3
（Ⅱ）解：当直线 l 的斜率不存在时，有 M 1, ， N 1, ， P(4,3),Q(4 3)，, F(1,0), A(2,0) ，
3   3 
2   2 
| PQ | 6 ．
当直线 l 的斜率存在时，设l : y＝k x( 1) ，其中 k  0 ．
y  k x 1，
2 2
2 2
2
2
联立  得(4k  3)x 8k x  4k 12  0 ．……5 分
3x  4y 12，
由题意，知 ＞0 恒成立，设 M x(1 , y1 ), N x(2 , y2 ) ，
2
2
1
则 x  x  8k4k + 3 ， x x1 2  4k2−124k2+ 3 ．
……6 分
2
直线 MA 的方程为 y  1x1− 2  x  2 ，y
2y   2y 令 x  4 ，得 yP  1 ，即 P 4,
，同理可得Q 4,
．……8 分
1
x1  2
2y
2
x1  2   x2  2 
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1 
| 2y1  2y2 | 2y1(x2 2) 2y2 (x1 2) ||
|
所以| PQ || yP yQ
 4 
集合 A2   ,1,2,3不是 H4 集合，
3 
1 2 x2 2 x1x2 2(x1  x2 )  4
2 1将 y1  k x1 1，y2  k x2 1 代入整理得| PQ || 2k(x − x )x x −2(x + x ) + 4 |
1 2 1 2
k2  1 | 6 k 1
2

k2
1 2
2
| PQ || ||
2k (x  x1)2 4x x 6
x1x2 2(x1  x2 )  4
k……10 分
| PQ |12 ，解得 k (  , 3]
[ 3,)
3
3
……11 分
（Ⅲ）点 A 在以 PQ 为直径的圆的内部.
证明：当直线 l 的斜率不存在时，有 M 1, 2 ， N 1, 2 ， P(4, 3),Q(4 3)，, F(1,0), A(2,0) ，
3   3 

则 AP  2,3， AQ  2,3 ，故  5 ，即PAQ  90．……12 分AP AQ  
由（Ⅱ）可知 P4, x 2 ，Q4, x 2 ． 2y1   2y2 
1 2
2
1
2y   2y 
所以 AP  2, ， AQ  2, ．
x1 2   x2 2 
因为 AP AQ  4   4   4   1 2
1 2
1 2 1 2
2
1
    

1 2
4y y 4k2 x 1x 1 4k2 x x1 2 x1  x2 1
2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x  x  4
2 4k2 12 8k2 
4  4k 4k2 3  4k2 3 1  4  4k2 4k2 128k2 4k2 3  5  0
2 22
2
2
，
2
2
4k 12 16k 4k 1216k  4 4 k 3
  4
4k 3 4k 3
所以PAQ  90， ……14 分
综上PAQ  90，点 A 在以 PQ 为直径的圆的内部. （21）(共 15 分）
解：（Ⅰ）集合 1A  0, ,1,4是 H4 集合，
1 
（Ⅱ）当a b c d, , ,  1,1, x y,时， ab  cd  1 xy  A， 当a b c d, , ,  1, x,1, y时， ab  cd  x  y  A ， 当a b c d, , ,  1, y x, ,1时， ab  cd  y  x  A ，
……15 分
……2 分
……4 分
……5 分
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不妨设 x  y ，由集合互异性可知： x  1, y  1
则 x  y   y  x 且互为相反数，
若{ y  x， x  y}  { ,x y}，可得 x  y  0 ，不符合题意
则{ y  x， x  y}  { 1,1}，可得 y  x 1
当 1 xy  1时， xy  0 ，不符合题意
当 1 xy  1时，解得 x  2 ， y  1或 x  1 ， y  2 ，不符合题意
当 1 xy  x 时，解得 x  1 ， y  0 或 x  1 ， y  2 ，不符合题意……6 分

当 1 xy  y 时，解得 x  2 ， y  2 1或 x   2 ， y 1 2 ，符合题意
所以集合 A  1,1,
2, 2 1或 A  1,1,

2, 2 1 ……8 分
（Ⅲ）假设 A 中元素全为正实数，不妨设0  a1  a2  a3  a4
当a b c d, , ,   a1,a2 ,a3 ,a4 时， ab  cd  a a1 2  a a3 4  A ， 当a b c d, , ,   a1,a3 ,a2 ,a4时， ab  cd  a a1 3  a a2 4  A ， 当a b c d, , ,   a1,a4 ,a2 ,a3时， ab  cd  a a1 4  a a2 3  A ，
由于a a1 2  a a3 4   a a1 3  a a2 4   a4 a3  a2   a1 a3  a2   a4  a1 a3  a2   0
1 3 2 4
1 4 2 3
2 4 3 1 4 3 4 3
2 1


       0
a a  a a  a a  a a  a a  a  a a  a  a  a a  a 
所以
a a1 4  a a2 3a a1 2  a a3 4  a a1 3  a a2 4 
……9 分
A 中元素至少 2 个大于1时，此时1 a3  a4 ，
a a1 2  a a3 4  a a3 4  a4  A
……10 分
A 中元素至多1个大于1，此时0  a1  a2  a3 1 a4 a a1 4  a a2 3  a a1 4  a1 ，0  a3  a1  1
所以{a a1 2  a a3 4 ,a a1 3  a a2 4 ,a a1 4  a a2 3}  {a4 ,a3 ,a2}，
1 2 3 4 4
可得 3  4 3 ，可得 a a1 2  a a3 4  a a1 4  a a2 3  a4  a2 ，即(a4  a2 )(a3  a1)  a4  a2 不成
a a1 4  a a2 3  a2
立，
……12 分
A 中元素小于等于1，即0  a1  a2  a3  a4 1
0  a4  a3  a4  a2  a4  a1 1
此时{a a1 2  a a3 4 ,a a1 3  a a2 4 ,a a1 4  a a2 3}  {a4 ,a3 ,a2 ,a1}， 包含以下几种情况：
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第一种：{a a1 2  a a3 4 ,a a1 3  a a2 4 ,a a1 4  a a2 3}  {a4 ,a3 ,a2}，
a a1 2  a a3 4  a4
可得 a a1 3  a a2 4  a3 ，可得 a a1 2  a a3 4  a a1 4  a a2 3  a4  a2 ，即(a4  a2 )(a3  a1)  a4  a2 不成 a a1 4  a a2 3  a2
立，
第二种：当{a a1 2  a a3 4 ,a a1 3  a a2 4 ,a a1 4  a a2 3} {a3 ,a2 ,a1}时，
a a1 2  a a3 4  a3
可得 a a1 3  a a2 4  a2 ，可得 a a1 2  a a3 4  a a1 4  a a2 3  a3  a1 ，即(a4  a2 )(a3  a1)  a3  a1 不成 a a1 4  a a2 3  a1
立，
第三种：当{a a1 2  a a3 4 ,a a1 3  a a2 4 ,a a1 4  a a2 3} {a4 ,a2 ,a1}或{a4 ,a3 ,a1} 时，
4
1 2 3 4
a a  a a  a
可得 ，可得 a a1 2  a a3 4  a a1 4  a a2 3  a4  a1 ，即(a4  a2 )(a3  a1)  a4  a1 ，即
a a1 4  a a2 3  a1
a  a  a4  a1 1不成立，1
3
……15 分
a4  a2
由①②③都错，可知假设集合 A 中全为正实数为错误命题，所以集合 A 中不全为正实数.
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