江西省南昌市第二中学2024届高三高考冲刺模考二数学试题

这是一份江西省南昌市第二中学2024届高三高考冲刺模考二数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则=（ ）
A．2B．4C．D．
3．在等比数列中，，则（ ）
A．-4B．8C．-16D．16
4．的展开式中的系数为，则（ ）
A．2B．C．4D．
5．已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．32B．48C．64D．72
二、多选题
9．已知一组样本数据、、、均为正数，且，若由生成一组新的数据、、、，则这组新数据与原数据的（ ）可能相等
A．极差B．平均数C．中位数D．标准差
10．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B．的面积最大值为1
C．若原点始终在动弦上，则不是定值
D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
11．已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的图象关于直线对称
C．的值域是
D．在区间上的零点个数为4
三、填空题
12．某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
由表中数据可得回归方程中，则 .
13．已知，若，则的取值为 .
14．如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使⊥平面，则五棱锥体积的最大值为 .

四、解答题
15．在中，角的对边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值.
16．已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上.
(1)求抛物线和直线的方程；
(2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程.
17．如图，在平行六面体中，，.

(1)求证：四边形为正方形；
(2)求体对角线的长度；
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
18．南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和期望.
19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线 和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式.

已知函数，其中.
(1)请参考上述材料证明：函数图象上的任意两点切线均不重合；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
月销售单价（元/件）
10
15
20
25
30
月销售量（万件）
11
10
8
6
5
参考答案：
1．D
【分析】先求集合，再根据集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确；
故选：D.
2．A
【分析】由复数除法法则可算得z，后可计算模长.
【详解】由题，，
则，.
故选：A
3．C
【分析】设出公比，结合两等式左边两项的内在联系,直接求得公比，再结合所求式分子分母项的内在联系,化简成公比的乘方式，直接代入即得.
【详解】设等比数列的公比为，则，即，.
故选:C.
4．B
【分析】写出展开式的通项，再令，即可求出展开式中的系数，从而得解.
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），
令可得，
所以，解得.
故选：B
5．A
【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案.
【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，
记内切球和外接球的半径分别为和，
则
所以其外接球与内切球的表面积之比为.
故选：A．
6．C
【分析】由排列组合知识结合概率公式即可得解.
【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，
所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，
当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；
当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；
所以满足要求的不同选择种数为；
所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.
故选：C.
7．B
【分析】根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可.
【详解】由函数的图象经过点，得，则，
函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减，
又，即函数是奇函数，
不等式，则，
即，解得，所以原不等式的解集为.
故选：B
8．C
【分析】设直线的方程为，可以先利用方程联立，利用弦长公式，借助韦达定理求出，由于直线，求时只需要将k换成即可，然后利用基本不等式求最值即得．
【详解】抛物线的焦点，因为，所以直线，斜率存在，且均不为0．
设直线的方程为，
联立，化简得．
则，所以．
因为，故的斜率为，同理可得，
所以，
当且仅当，即是取等号，
故的最小值是64，
故选：C
9．BC
【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，样本数据、、、的极差为，
样本数据、、、的极差为，
因为，则，故A错误；
对于B选项，设样本数据、、、的平均数为，即，
所以，样本数据、、、的平均数为
，
由可知，当时，两组样本数据的平均数相等，故B正确；
当时，样本数据、、、的中位数为，
样本数据、、、的中位数为，
同理可知当时，中位数相等，
当时，样本数据、、、的中位数为，
样本数据、、、的中位数为
同理可知当时，两组数据的中位数相等，故C正确；
对于D选项，设样本数据、、、的标准差为，
样本数据、、、的标准差为，
则，
，
因为，则，
故，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D.
【详解】对于A，圆的圆心为1,0，半径为，
圆的圆心为，半径为，
当圆和圆存在公共点时，，
所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；
对于B，的面积为，
当时，的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦垂直x轴时，，所以，
当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，
与圆联立得，，
设，
则，，
综上，恒为定值，错误；
对于D，设Px0,y0，OP中点，该点也是AB中点，且，
又，所以，
化简得，所以点的轨迹为以1,0为圆心，半径为的圆，
其周长为长度为，正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】利用偶函数的定义可判定A，利用函数的对称性可判定B，利用三角恒等变换及换元法化简函数式，并利用导数研究函数的极值、最值可判定C，结合C项化简后的函数式及三角函数的性质可判定D.
【详解】对于A项，且定义域为R，显然是偶函数，故A正确；
对于B项，，所以关于直线对称，故B正确；
对于C项，易知
，
，
所以，
令，则，不妨设，
所以，令，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又当，
则，，而，
所以，故C错误；
对于D项，由上知，
易知x∈0,π时，，且此时关于直线对称，
所以在区间上的零点等价于的零点，
解之得，
利用正弦函数的对称性可知：有且仅有满足，
同理有且仅有满足，其中，故D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：对于C项需要利用三角恒等变换将角度合一化简函数式，并利用换元法及导数研究函数的性质来判定值域.
12．
【分析】因为样本中心点满足回归方程，所以求出代入回归方程可求出实数的值.
【详解】因为，，
又回归方程为，所以，解得.
故答案为：
13．
【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【详解】因为，所以，，
由，则有，解得.
故答案为：
14．/
【分析】设，根据题意得出五棱锥的体积为，利用导数法求解最值即可.
【详解】设，因为，点为的中点，所以，
且，底面的面积为，
所以五棱锥的体积为.
则，令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；
（2）由三角形的面积公式可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由余弦定理得，
因为B∈0,π，所以.
（2）由（1）可知，
因为的面积为，即，所以，
则，即，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）设抛物线方程，代入即可求得抛物线，利用点斜式方程直接求出直线方程；
（2）设出直线的方程，并与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合中点在直线上求出参数即可求解.
【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得：
所以抛物线为：，
又直线的斜率为1，所以直线方程为：，即.
（2）由（1）设直线的方程为，
由消去x得：，有，解得，
设，则，于是线段的中点坐标为，
显然点在直线上，即，解得，符合题意，
所以直线的方程为.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量相等证明四边形为平行四边形，再证明邻边垂直即可得证；
（2）利用空间向量的数量积计算模长即可；
（3）利用空间向量的数量积求夹角即可.
【详解】（1）因为，，
所以，而不共线，所以四边形为平行四边形，
又，
所以，即，所以四边形为正方形；
（2）由题意易知，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即；
（3）因为，，
所以
，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)分布列见解析，期望为
【分析】（1）借助组合数结合概率定义计算即可得；
（2）借助全概率公式计算即可得；
（3）借助全概率公式与概率之和为，可得出与有关等式，结合等比数列的性质计算即可得，再利用对称性求出、后，即可由分布列与期望定义得到相应分布列与期望.
【详解】（1）设第场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，则；
（2）；
（3）当时，
，
，
，
由，
故
，
即有，又，则，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
结合对称性可知，每次分享会学生嘉宾中有1名男生的概率与3名男生的概率相同，
故，又，
故有，
第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数的可能取值为、、，
，
，
，
则其分布列为：
则.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助，得到，从而可由等比数列的性质解题.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合题干结论，即可得证；
（2）根据题意，转化为时，在恒成立，
设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即，
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合，
所以函数图像上的任意两点切线均不重合；
（2）当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
A
C
B
C
BC
ABD
题号
11









答案
ABD