甘肃省2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知数列是等差数列,公差为2,且满足,则等于( )
A.34B.30C.28D.22
3．已知抛物线经过点,则抛物线C的准线方程是( )
A.B.C.D.
4．已知点A,B为圆上两点,若,且,则( )
A.1B.C.D.
5．已知某校教学楼共有四层,每层有8个班级,先从四个楼层中选取两层,然后从所选的楼层中一层选3个班级,另一层选4个班级进行卫生检查,则不同的选取方式共有( )
A.种B.种C.种D.种
6．若双曲线的两条渐近线的夹角为,则其离心率为( )
A.B.C.2或D.2
7．已知数列为等比数列,,若的前7项和为,则数列的前7项和为( )
A.B.C.D.60
8．设,分别为椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,的周长为,且,则的面积为( )
A.3B.C.4D.
二、多项选择题
9．已知直线和直线,则直线,平行的充分不必要条件可以是( )
A.B.或C.D.
10．在下列关于二项式的命题中,正确的是( )
A.的展开式中,一共有6项
B.在的展开式中,所有二项式系数的和为64
C.若,则
D.二项式,若,则
11．已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴交于点A,过F的直线与C交于B,D两点,过B,D作l的垂线,垂足分别为E,G,O为坐标原点,则( )
A.若直线的斜率为1,则B.以为直径的圆与y轴相切
C.D.
三、填空题
12．已知数列中,,当时,,则的通项公式为________.
13．在的展开式中,各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大,则的系数为________.
14．已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点,且M为线段的中点,则________.
四、解答题
15．甲、乙、丙做A,B,C,D四项工作,每项工作只需1人完成,每人至少完成1项工作.
（1）共有多少种不同的情况;
（2）求甲做A工作的概率.
16．已知圆,圆.
（1）若两圆公共弦所在直线的方程为,求m的值;
（2）若圆C与直线相交于M,N两点,且,求m的值.
17．已知数列的首项为,且满足,数列是首项为2,各项均为正数的等比数列,且是和的等差中项.
（1）证明数列为等差数列,并求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
18．在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,焦距为,过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A,B.
（1）求椭圆C的方程;
（2）求斜率k的取值范围;
（3）当时,求A,B两点的坐标.
19．已知双曲线的左、右焦点分别为,,实轴长为2,M为C的右支上一点,且.
（1）求双曲线C的方程;
（2）若双曲线上任意一点A关于直线的对称点为,过分别作双曲线C的两条渐近线的平行线,与双曲线C分别交于点P,Q,求证:为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：的斜率为,
又倾斜角,故直线倾斜角为.
故选:B
2．答案：B
解析：因为数列是等差数列,公差为2,且满足,
所以,
故选:B.
3．答案：C
解析：抛物线经过点,则,所以,
所以抛物线准线方程为.
故选:C.
4．答案：C
解析：因为,设圆心O到直线的距离为d,则,所以,所以.
故选:C.
5．答案：A
解析：先从四个楼层中选取两层,方案有种,
从所选的楼层中一层选3个班级,另一层选4个班级进行卫生检查,
方案有种,
综上,不同的选取方式有种.
故选:A
6．答案：C
解析：由题设可得渐近线的方程为,
因为两条渐近线的夹角为,故直线的倾斜角为或,
故或,故或,
故选:C.
7．答案：D
解析：设等比数列的公比为q,前n项和为
若,则,,不符合题意,所以,
所以由得到,,
将代入得,
因为为等比数列,所以,则,所以数列也为等比数列,首项为,所以数列的前7项和为,
故选:D
8．答案：C
解析：由椭圆的性质可得,
又,,又,所以,,,由余弦定理可得,即,
,C选项正确;
故选:C
9．答案：AC
解析：当直线,平行时,
则有,解得或,经检验此时两直线平行,
所以直线,平行的充要条件为或,
由充分不必要条件的定义可知A,C满足题意.
故选:AC.
10．答案：ABC
解析：对于A,二项式展开式一共有6项,A正确;
对于B,在的展开式中,所有二项式系数的和为,故B正确;
对于C,令,可得,
令,可得,所以,故C正确;
对于D,二项式,
则,
令,得,则,故D不正确.
故选:ABC.
11．答案：BD
解析：抛物线的焦点,准线,点,设,,
对于A,直线,由消去y得,,
,A错误;
对于B,,线段中点横坐标,
弦中点到y轴的距离为,因此以为直径的圆与y轴相切,B正确;
对于C,当点B在x轴下方时,,而,C错误;
对于D,由,,得,同理,
则,因此,D正确.
12．答案：
解析：当时,,故,
其中,故为首项为2,公比为2的等比数列,
故,所以.
故答案为:
13．答案：40
解析：依题意可得,得,
因为的通项公式为,
令,即,则的系数为.
故答案为:40.
14．答案：
解析：设,,
则,两式作差可得:,
因为为线段的中点,所以,
则,
所以直线l的方程为,
联立,则,
所以,
故答案为:
15．答案：（1）36
（2）
解析：（1）甲、乙、丙做A,B,C,D四项工作,每项工作只需1人完成,每人至少完成1项工作,
故有1人做两项工作,其余2人各做一项工作,
共有种情况.
（2）甲做A工作的情况有2种:
①甲只做A工作,共有种情况;
②甲做A工作及B,C,D中的任意一项工作,共有种情况,
所以甲做A工作的情况有种,
故所求概率为.
16．答案：（1）
（2）
（2）由求出圆心到直线的距离,进而由点到直线距离公式得到方程,求出.
解析：（1）由题意,得,解得.
,,
两式相减得.
又两圆公共弦所在直线的方程为,即,
所以,即,满足,故;
（2）圆C化为标准方程:.设圆C的半径为r.
在中,取的中点P,连接,如图.
因为,,所以.
又因为为圆心到直线的距离,所以,
所以,解得.
17．答案：（1）证明见解析,
（2）
解析：（1）由,得,否则,依次,这与题设矛盾,
而,于是,
所以数列是首项,公差为2的等差数列,
故,所以.
（2）由（1）得.
设数列的公比为q,则,且.
因为是和的等差中项,所以,
即,解得或（舍去）或（舍去）,
所以,所以,
所以
.
所以.
18．答案：（1）
（2）
（3）,或,
解析：（1）由题意得,
又,所以,,,所以C的方程为.
（2）过点且斜率为k的直线l的方程为,
联立与,得,
,解得或,
故斜率k的取值范围是.
（3）时,,
联立得,,
解得或,
当时,,当时,,
故,或,.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知,即,又M为C的右支上一点,
则,
所以,
故当最小时,最小.
而,
故,
即,故,故双曲线方程为.
（2）证明:设,则.
因为点A在双曲线E上,所以,得,
即.
双曲线C的渐近线方程为,
则过点且与渐近线平行的直线.
设直线l与双曲线C交于点P,由可得,
即,解得,
即,同理可得,
所以
,
所以为定值.