2025高考数学考点剖析精创专题卷九-计数原理与概率统计【含答案】

这是一份2025高考数学考点剖析精创专题卷九-计数原理与概率统计【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A.B.C.D.
2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( )
A.120种B.150种C.180种D.240种
3．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是( )
A.B.C.D.7
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则( )
A.B.C.D.
5．已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有( )
A.477人B.136人C.341人D.131人
6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为( )
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，.
A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元
7．某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3 000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是( )
A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时
B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300
C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%
D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为600
8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为( )
A.14B.C.D.
二、多项选择题
9．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.
根据该折线图，( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过
D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量
10．已知的展开式中共有7项，则该二项展开式中( )
A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第4项D.有理项共有4项
11．红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲同学调配出红色”，B表示事件“甲同学调配出绿色”，C表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.事件B与事件C相互独立
三、填空题
12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.
13．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，x，其中，又，，则随机变量X方差的最小值为__________.
14．将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.
四、解答题
15．为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.
根据直方图所提供的信息：
(1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;
(2)估计这40名同学周末学习时间的分位数.
16．2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
（1）根据散点图判断，与(a，b，c，d均为常数)哪一个更适宜作为5G经济收入y关
于月份x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.(结果保留小数点后两位)
（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：
其中，设，().
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
17．卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：
（1）判断能否有的把握认为产品的品质与生产线有关；
（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
附：，其中
18．毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望.结果精确到；
（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为，已知甲同学第一关通过的概率为，记甲同学通过第n关的概率为，请写出的表达式，并求出的最大值.
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
19．篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人、每次进球与否都互不影响.
（1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：
①设事件C表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含p的式子表示）
②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
参考答案与详细解析
一、选择题
1．答案：D
解析：依题意，用，表示高一的2名学生，，表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有，，，，，，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有，，，，共4种，所以所求概率，故选D.
2．答案：B
解析：根据题意，分2步进行分析：
①先将甲、乙等5名同学分成3组：
若分成1，2，2的3组，则有（种）方法；
若分成1，1，3的3组，则有（种）方法，
故将5人分成3组，每组至少有1人，有（种）分组方法.
②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（种）.
3．答案：C
解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以，二项式展开项的通项公式为，令，得，所以的系数为.故选C.
4．答案：B
解析：易知，其中AB表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即，，故.而，所以.故选B.
5．答案：B
解析：根据题意，，
则，
故此次考试成绩在区间内的学生大约有人.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意，得，
，
，
，则.
设工厂获得利润L元，则，
当时，L取得最大值.
所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.
7．答案：C
解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为
（小时）,故选项A正确;
对于B,该校高一年级的总人数为,由题中频率分布直方图可知,
该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为,
所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为,
故选项B正确;
对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为
,故选项C错误;
对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为,
故选项D正确.
故选：C.
8．答案：D
解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，
则不获一等奖的概率分别是，，，
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
，
这三人都获得一等奖的概率为，
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.
故选：D.
二、多项选择题
9．答案：CD
解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过，故C正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D正确.
10．答案：ACD
解析：由题意知，则的展开式的通项为.
对于A，所有项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，令，得，因此所有项的系数和为，不为1，故B错误；
对于C，由二项式系数的性质，可知的展开式中第4项的二项式系数最大，为，故C正确；
对于D，当，即时，对应的项为有理项，共有4项，故D正确.故选ACD.
11．答案：AC
解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为.
对于A，A表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有种方法，则，故A正确；
对于B，事件A发生需要2瓶颜料均为红色，事件C发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，
在事件A发生的条件下，事件C不可能发生，所以，故B错误；
对于C，若事件B发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则，故，故C正确；
对于D，若事件C发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则，，事件B与事件C不相互独立，故D错误.故选AC.
三、填空题
12．答案：
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率.
13．答案：
解析：由，，得，所以随机变量X的数学期望，则方差.当时，取到最小值，故答案为.
14．答案：72
解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.
若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有种；
若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有种；
若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有种；
若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有种；
若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有种；
若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有种.
综上所述，不同的分配方法有种.
四、解答题
15．答案：(1);
(2)8.75小时.
解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在的人数为人,
周末的学习时间在的人数为人,
从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在的有4人,记为A,B,C,D;
周末的学习时间在的有2人,记为a,b;
则再从中选派3人接受检测的基本事件有,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,共有20个,
其中检测的3人来自同一区间的基本事件有,,,共有4个,
所以检测的3人来自同一区间的概率;
(2)学习时间在5小时以下的频率为,
学习时间在10小时以下的频率为,
所以分位数在区间内,
则,
所以这40名同学周末学习时间的分位数为8.75小时.
16．答案：（1）更适宜
（2），65.35百万元
（3）分布列见解析，1
解析：（1）根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；
（2）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，，所以
所以.
所以，即，所以.
令，得，
故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.
（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，，，，
所以X的分布列为：
所以.
17．答案：（1）没有；
（2）分布列见解析，
解析：（1）补充列联表如下：
根据列联表中的数据，经计算得到，
所以没有的把握认为产品的品质与生产线有关.
（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为，
乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为，
所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为，，
由题意随机变量X的所有可能取值是0，1，2，3，4，
，，
，
，，
故X的分布列为：
所以X的期望.
18．答案：（1）0.012；
（2）0.23；
（3），的最大值为.
解析：（1）由频率分布直方图，得，
解得.
（2）由题意得：
，
，，，.
（3）记甲同学第关通过为事件，依题意，，
当时，，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，，又，所以的最大值为.
19．答案：（1）；
（2）①；②15
解析：（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进i个球，
表示乙在一轮比赛中投进i个球，，
D表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球
所以
（2）①
；
②设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，则在恒成立，
即在上单调递增，故的最大值为，
即的最大值为，于是，的最小值为，
因，故理论上至少要进行15轮比赛
单价x（元）
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量y（件）
100
94
93
90
85
78
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
3.50
21.15
2.85
17.70
125.35
6.73
4.57
14.30
合格品
优等品
甲生产线
250
250
乙生产线
300
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
9.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
P
合格品
优等品
总计
甲生产线
250
250
500
乙生产线
300
200
500
总计
550
450
1000
X
0
1
2
3
4
P