吉林省吉林市2024-2025学年高一上学期期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份吉林省吉林市2024-2025学年高一上学期期中考试数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了本试卷分第I试卷和两部分；等内容，欢迎下载使用。
说明：1、本试卷分第I试卷（选择题）和两部分；
2、满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={1 ，2，3，4，5}，，则A∩B的元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正确答案】B
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
【详解】因为集合A={1 ，2，3，4，5}，
所以，
即A∩B的元素个数为3个.
故选：
2. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】由集合的包含关系即可判断.
【详解】由可得，
显然，
所以“”是“必要不充分条件.
故选：B
4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可.
【详解】选项A, 在(0,+∞)上为增函数，在上单调递减；选项B，在和(0,+∞)上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C，在(0,+∞)上为减函数，在上单调递增，且为偶函数，只有选项D在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D.
本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题.
5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果.
【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；
对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象.
故排除A，选C.
故选：C
6. 当时，恒成立，则实数a取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解.
【详解】记，则．
而，
当时，，
所以实数a的取值范围是.
故选C．
7. 判断下面结论正确的个数是（ ）
①函数的单调递减区间是；
②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数；
③函数是R上的增函数；
④已知，则
A. 3B. 2C. 1D. 0
【正确答案】B
【分析】对于①，举例判断，对于②，由增函数的定义判断即可，对于③，举例判断，对于④，利用配凑法求解即可
【详解】对于①，当时，，而当时，，所以函数的单调递减区间不是，所以①错误，
对于②，由可得，所以与同号，所以函数在D上是增函数，所以②正确，
对于③，当和时，，所以不是R上的增函数，所以③错误，
对于④，因为，所以，所以④正确，
故选：B
8. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，
又在上是增函数，，
当时，不成立；
当时，由，得，则，故或；
由，得，则，故或；
而由，得或，解得或，
即的解集为.
故选：A.
第II卷
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解：的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，与对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数（）的图象是一条直线
B. 若函数在上单调递减，则
C. 若，则
D. 函数的单调递减区间为
【正确答案】BD
【分析】根据函数的概念、常见函数的图象与性质、复合函数的单调性等逐一判断即可得出结果.
【详解】解：选项A：由于函数（）的定义域为整数，所以函数（）的图象是由一系列的点构成，故选项A错误；
选项B：函数的对称轴为且开口向上，当函数在上单调递减时，则，解得，故选项B正确；
选项C：令，即，，故选项C错误；
选项D：函数的定义域为.当时，函数为增函数，为增函数，故函数在单调递增；当时，函数为增函数，为减函数，故函数在单调递减；故函数的单调递减区间为，故选项D正确.
故选：BD.
11. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为9
C. 有最小值为D. 有最小值为3
【正确答案】ABD
【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为
，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D.
【详解】由，，且，可知，即，
当且仅当 时取等号，故A正确；
，
当且仅当 即 时取等号，故B正确；
由，，且，可知，故，
当时，取得最小值 ，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，
故D正确，
故选：ABD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域是_________．
【正确答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故
13. 已知函数，则__________.
【正确答案】32
【分析】根据题中所给分段函数运算求值.
【详解】由题意可得：，则
故32.
14. 定义，设函数，则的最大值为______
【正确答案】
【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，结合图象可得出函数的最大值.
【详解】当时，即，解得或，
此时，；
当时，即，解得，
此时，，
所以，，
作出函数的图象如下：
由图可知.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，集合.
（1）求集合；
（2）若集合，且，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）根据分式不等式求集合A，进而根据交集运算求解；
（2）分析可知，根据包含关系列式求解.
【小问1详解】
对于，可得，等价于，解得或，
即或，
又集合，所以或.
【小问2详解】
因为，集合，集合，
显然，则，解得，
所以实数取值范围为.
16. 已知函数.
（1）用分段函数的形式表示函数f(x)；
（2）画出函数f(x)的图象；
（3）写出函数f(x)的值域.
【正确答案】（1）；（2）图象答案见解析；（3）.
【分析】（1）分和两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式画出函数的图像；
（3）根据函数图像可求出函数的值域
【详解】（1）.
（2）函数f(x)的图象如下图所示.
（3）由图得函数f(x)的值域为.
此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题
17. 已知函数，且该函数的图象经过点.
（1）确定m的值；
（2）求满足条件的实数a的取值范围.
【正确答案】（1）1 （2）
【分析】（1）代入点的坐标求解即可；
（2）利用幂函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
因为该函数的图象过点，
所以，
所以，所以或，
又，故.
【小问2详解】
由（1）知，故为上的增函数，又由，
得，解得.
所以满足条件的实数a的取值范围为.
18. 已知定义在上的奇函数，当时，．

（1）求函数在上的解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）图象见解析 （3）
【分析】（1）当时，由即可求得解析式，结合可得最终结果；
（2）根据解析式可作出函数图象；
（3）根据函数图象，结合单调性可直接构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
当时，，，
为上的奇函数，，
又满足，
.
【小问2详解】
由（1）可得图象如下图所示，
【小问3详解】
在区间上单调递增，
结合图象可得：，，即实数的取值范围为.
19. 近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．
（1）求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；
（2）求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．
【正确答案】（1）;
（2）5400万元.
【分析】（1）根据利润=销售收入—固定成本一投入成本，即可得到年利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当时，利用二次函数的性质，求出的最大值，当 时利用导数求得的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.
【小问1详解】
由题意知，当时， ，
当，,
综上， ;
【小问2详解】
当时， ，
所以当 时，取得最大值2383，
当，，，
令，
当时，递增，当时，递减，
故当 时，取得最大值 ，
因为 ，
故当（百台），该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.