2024-2025学年湖北省武汉市高一上学期期中联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市高一上学期期中联考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“，使得”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据存在命题的否定为全称命题，即可求解.
【详解】由题意得：命题：，使得的否定为：，，故A项正确.
故选：A.
2. 已知集合，若，则的值是（ ）
A. 0B. 3C. D. 3，0
【正确答案】D
【分析】根据，可得，分类讨论即可.
【详解】因为，所以，
当时，此时，，符合题意；
当时，解得或，
当时，，符合题意；
当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意，
综上：或，
故选：D.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若.则B. 若.则
C. 若，则D. 若均为实数，则
【正确答案】B
【分析】根据不等式的性质，以及采用特殊值验证的方法判断四个选项即可.
【详解】对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，，所以，又因为，所以，故B正确；
对于C，，则当，，，时，，，
此时，故C错误；
对于D，当时， ，，，故D错误；
故选：B.
4. 若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.
【详解】因为，即，
且，当且仅当时，等号成立，
可得，解得或（舍去），
所以，即的取值范围是.
故选：C.
5. 已知函数，那么函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数定义域的概念计算即可.
【详解】由题意可知有意义需要，
又，
所以函数的定义域是.
故选：D
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意结合奇函数的性质，分析得正负，进而求解即可.
【详解】由时，，可知当时，，当时，，
又为奇函数，所以当时，，当时，，
由，可得或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C
7. 函数的图像不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由于函数的解析式中含有参数，因此可考虑对直接进行取值，然后再判断的大致图象即可.
【详解】函数的定义域为，且，
所以该函数为偶函数，下面只讨论时的情况：，
当时，，图象为C；
当时，，图象为B；
若时，函数单调递增，图象为D；
所以函数的图象可能为：BCD.
故选：A.
8. 关于的方程有两个相等的正根，则（ ）
A. 有最大值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最小值
【正确答案】B
【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得.
【详解】因关于的方程有两个相等的正根，
所以，所以.
，
当且仅当时取等号，所以有最大值.
故选：B.
二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 设集合，，，.则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AD
【分析】求出集合、，即可判断A、B、C，再求出方程组的解，即可判断D.
【详解】集合是函数的定义域，即，
集合是函数值域，即，
所以，故A正确；
集合、是数集，集合是点集，故B、C错误；
由，解得或，所以，故D正确.
故选：AD
10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 函数有最大值
B.
C.
D. 的解集为
【正确答案】ABD
【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确.
【详解】因为不等式的解集为，所以，
函数开口向下，有最大值，A正确；
又，函数值即B正确；
又是关于的二次方程的两根，则，
所以，则C错误；
不等式即为，即，
解得或，，D正确.
故选：ABD.
11. 已知条件“函数是定义在上的增函数”，下列哪些是的充分不必要条件（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】首先根据分段函数单调性求解参数的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义进行求解即可.
【详解】函数是定义在上的增函数的充要条件是：
解得.
又与都是的真子集，
故“”、“”是“函数是定义在上的增函数”的充分不必要条件.
故选：BC
12. 如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则；
B. 存在集合，使得；
C. 若，则；
D. 若，则.
【正确答案】AC
【分析】按幂集的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则的子集之一就是，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则的公共子集只有空集，故，故C正确；
对于D，若，不妨设，则，
，显然，故D错误.
故选：AC.
三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知全集是小于的自然数，，，则______.
【正确答案】
【分析】根据并集、补集的定义计算可得.
【详解】因为是小于的自然数，
又，，所以，
所以.
故
14. 已知函数满足，则函数值域为______.
【正确答案】
【分析】换元法得到的解析式，进而由定义域求出值域.
【详解】令，则，所以，
所以的解析式为，其中.
当时，，所以值域为,
故答案：
15. 已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是______.
【正确答案】3
【分析】先得到的图象，分和两种情况，数形结合得到唯一的整数解是1，从而得到，求出答案.
【详解】函数，如图所示，
不等式恰有1个整数解，
当时，则，结合图像观察，唯一的整数解是1，
依题意得，
，
当时，则，此时不会是最大值；
所以实数的最大值是3
故3
16. 设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上值域为且单调，则称为函数的保值区间.已知幂函数在上是单调增函数.
（1）函数的解析式______；
（2）若函数存在保值区间，则实数的取值范围是______.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】（1）由幂函数定义以及函数单调性即可求得，所以；
（2）根据保值区间定义，即可知方程在上有两个不等的实根，由换元法并利用二次函数根的分布即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为幂函数在上是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）因为函数在上单调递增，
若存在保值区间，则，即，
也就是方程在上有两个不等的实根，
令，得，
所以在上有两个不等的实根，
令，
则，可得，解得，
故实数的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）已知，求的取值范围；
（2）若，且，求的最小值.
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）设，求得，利用不等式的性质即可求解；
（2）设，可得，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）设，其中，
则，解得，即，
因为，所以，
所以的取值范围为；
（2）设，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
18. （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则.
（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）
【正确答案】（1）；证明见解析；（2）小东买到的糖的平均价格较高，证明见解析；
【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，利用此结果从而求解；
（2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论.
【小问1详解】
糖水变甜了得出不等式
设的三边长分别为，则有，
由上述不等式可得：，
将以上不等式左右两边分别相加得：，
所以.
【小问2详解】
对于小东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），
对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，
故小华买到的糖的平均价格为（元/千克），
，即小东买到的糖的平均价格较高.
19. 已知函数.
（1）若函数图像关于对称，求不等式的解集；
（2）若当时函数的最小值为2，求当时，函数的最大值.
【正确答案】（1），且
（2）答案见解析
【分析】（1）根据题意解一元二次不等式即可；
（2）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为2，求出系数b，再求函数在区间内的最大值.
【小问1详解】
因为：图像关于对称，所以：，
所以：
得：，解得：，且，
所以，原不等式的解集为：，且.
【小问2详解】
因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，
①若，则在上增函数，
所以：，解得：；
所以：，
②若，则在上是减函数，
所以：，解得：（舍）；
③若，则在上是减函数，在上是增函数；
所以：，解得：或（舍），
所以：
综上，当时，的最大值为；当时，最大值为.
20. 设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.
（1）判断并证明函数在上的单调性：
（2）若，求不等式的解集.
【正确答案】（1）在上为增函数，证明见解析
（2）或
【分析】（1）已知条件结合函数单调性的证明方法即可得解.
（2）通过适当变形，把已知不等式转化为方便运用单调性的形式即可.
【详解】（1）在上为增函数.
设，则即，
，故，即，
故在上为增函数；
（2）由得：，
，
所以，
解得或，
所以不等式的解集为：或.
21. 为迎接购物节，某家具厂在直播平台主推一款网红床（每套床包括1张床和2个床头柜）.根据大数据预测，家具厂应先制作1013套网红床以应对本次抢购.为了尽快完成订单，该厂将100名技术工人分成两组，一组只制作床，另一组只制作床头柜.已知每张床和每个床头柜制作的工作量分别为3人1天和1人1天.若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？
【正确答案】安排60人制作床，40人制作床头柜工期最短.
【分析】设安排制床人数为，制床头柜人数，根据题意列出方程，求出方程解即可得到结果.
【详解】解：设人制作床，则人制作床头柜，.
由已知条件得，完成床时间为，完成床头柜时间为，
套床完成时间为
由，得，
且，
当单调递减，最小值为，
当在单调递增，
最小值为，即，
所以安排60人制作床，40人制作床头柜工期最短.
22. 函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数.
（1）根据上述材料求函数的对称中心；
（2）判断的单调性（无需证明），恒成立，求的取值范围.
【正确答案】22.
23. 是上的增函数；
【分析】（1）结合题意，设，利用奇函数的定义以及恒等式的性质，求解出，即可得到答案.
（2）利用函数的单调性求解不等式.
【小问1详解】
由题意，设函数，
则函数，
整理得：，
又由是奇函数，得，
即，解得，
故函数的对称中心为.
【小问2详解】
函数是上的增函数
理由是：由（1）得：函数是上的增函数，
结合函数图像平移可知，函数是上的增函数，
由，得，
即，
又，
则，
是上的增函数
恒成立，
，.