黑龙江省牡丹江地区共同体2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省牡丹江地区共同体2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知等比数列中,,,则( )
A.48B.15C.3D.63
2．若是等差数列,表示的前n项和,,,则中最小的项是( )
A.B.C.D.
3．若,,则的值等于( )
A.B.C.D.
4．已知椭圆的右焦点为F,点M是C上的一点,点P是线段的中点,O为坐标原点,若,则( )
A.6B.7C.8D.9
5．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为( )
A.B.C.D.
6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知正项等比数列的前n项和为,且满足,设,将数列中的整数项组成新的数列,则( )
A.2023B.2024C.4046D.4048
8．已知,是椭圆和双曲线的公共焦点,是该椭圆和双曲线的一个公共点,,的外接圆半径为2,且,记椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.的最小值为4
二、多项选择题
9．已知数列是公比为q的等比数列,且,,成等差数列,则( )
A.B.C.-1D.1
10．已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与，不重合），，则下列命题中，正确的命题是( )
A.B.的最大面积为
C.存在点P，使得D.的周长最大值是
11．已知数列满足：，，（，），数列的前n项的积为，记，则( )
A.数列是等比数列B.
C.当n为奇数时，D.当n为偶数时，
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为________.
13．若数列满足,,则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为,数列的前n项和为.给出下列结论:
①;
②是奇数;
③;
④.
则所有正确结论的序号是________.
14．已知,M是椭圆上的动点,,分别是其左右焦点,则的最大值为________.
四、解答题
15．在数列中,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
16．已知F是抛物线的焦点,A是C上在第一象限的一点,点B在y轴上,轴,,.
（1）求C的方程;
（2）过F作斜率为k的直线与C交于M,N两点,的面积为（O为坐标原点）,求直线的方程.
17．如图,在三棱台中,上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形,平面ABC,设平面平面,点E,F分别在直线l和直线上,且满足.
（1）证明:平面;
（2）若直线EF和平面ABC所成角的余弦值为,求该三棱台的体积.
18．在数列中,已知,（）.
（1）证明:数列为等比数列;
（2）记,数列的前n项和为,求使得的整数n的最小值;
（3）是否存在正整数m、n、k,且,使得、、成等差数列?若存在,求出m、n、k的值;若不存在,请说明理由.
19．在平面直角坐标系中,点T到点的距离与到直线的距离之比为,记的轨迹为曲线E,直线交E右支于A,B两点,直线交E右支于C,D两点,.
（1）求E的标准方程;
（2）证明:;
（3）若直线过点,直线过点,记,的中点分别为P,Q,过点Q作E两条渐近线的垂线,垂足分别为M,N,求四边形面积的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,,
所以.
故选:A
2．答案：B
解析：由数列为等差数列,
则,且,
即,,
所以当时,取最小值,
即数列的最小项为,
故选:B.
3．答案：A
解析：因为,所以,
又,
所以,
所以.
故选:A.
4．答案：A
解析：记椭圆C的左焦点为,连接,
又点P是线段的中点,O为的中点,所以,
又,所以,
在椭圆中,,
又点M是C上的一点,所以,所以.
故选:A.
5．答案：D
解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设抛物线上的点M到其准线的距离为
点M到直线的距离为，
由抛物线的定义可知
则，
其最小值为焦点到直线的距离
距离，
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故选：D
6．答案：C
解析：记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆，相切时，斜率k最小，
设，则，
解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.
7．答案：D
解析：令数列的公比为q,,,,
因为,
所以当时,,即,
当时,,即,解得（舍去）,
所以,即,
因为数列中的整数项组成新的数列,
所以,,此时,即,
可得.
故选:D.
8．答案：C
解析：双曲线,则焦点在x轴,则椭圆中,
,,即,即,故A选项错误;
由正弦定理可知在中,,
,∴,
由椭圆和双曲线的定义可知:,解得,,
,
即,,
,B选项错误;
,,即,,C选项正确;
当且仅当,即时取等号,所以最小值为,D选项错误.
故选:C.
9．答案：AD
解析：由题意,,由等比数列通项公式可得,
由于等比数列每一项都不是0,故,
即,解得或.
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：对A，由题知，，，
则，，，
设，，
则，A正确；
对B，易知当点P为短轴端点时，的面积最大，
最大值为，B正确；
对C，，
则，C错误；
对D，由椭圆定义可知，，
所以，
又，
所以，
当M，，P三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确
故选：ABD
11．答案：ACD
解析：显然，.因为，所以，又，所以，即当时，.显然，所以，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以A正确；于是，所以，，两式相除得，所以B错误；当n为奇数时，
，所以有，所以C正确；当n为偶数时，，所以有，所以D正确，故选ACD.
12．答案：
解析：由题可得,当时,,
即曲线在点处的切线斜率,所以所求切线方程为.
故答案为:
13．答案：①②④
解析：对于①,由,,且,可得斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34...故故①正确;
对于②:由斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...,
可得每三个数中前两个为奇数,后一个偶数,且,所以是奇数,故②正确;
对于③:因为;;…,
相加可得:,故③错误;
对于④:因为斐波那契数列总满足,且,
所以,
,
,
类似的有,,
其中.
累加得,
,
故:,故④正确.
故答案为:①②④.
14．答案：
解析：由题意,要求的最大值,设,
则,即,
由,得,则,
则,,椭圆的右准线为,
则到右准线为的距离为,
根据椭圆的第二定义可知,,即,
又,,
则
,
由于,则,
当且仅当,即时,等号成立,
则,
即的最大值为.
故答案为:.
15．答案：（1）,
（2）,
解析：（1）因为数列满足,且,
当时,可得,
即,
当时,适合上式,
所以数列的通项公式为,.
（2）由于,且,,
则,
即,
设,
则,
两式相减得:,
所以,
所以,.
16．答案：（1）
（2）或.
解析：（1）由题知,,
由抛物线的定义知,,
,的方程为.
（2）由（1）知,设,,
直线的方程为,代入,整理得,
由题易知,,,
,
到直线的距离为,
,解得,
直线的方程为或.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由三棱台知,平面ABC,
因为平面,且平面平面,
所以,
因为,所以,又,,BC,平面,
所以平面;
（2）取BC中点M,连接AM,以A为原点,AM为y轴,为z轴,
过点A做x轴垂直于yOz平面,建立空间直角坐标系如图,设三棱台的高为h,
则,,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,可得平面的一个法向量,
易得平面ABC的一个法向量,
设EF与平面ABC夹角为,
,,,
所以,
由,得,
由（1）知,所以,
解得,所以三棱台的体积.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）10;
（3）不存在,证明见解析.
解析：（1）证明:由,得,从而,
,
又,故数列为等比数列;
（2）由（1）得,,故,
所以,
,
令,则,
解得,,.
故使得的整数n的最小值为10;
（3）假设存在正整数m、n、满足题意,则,
即,
即
两边同除以得,
(*)
由得,,;
所以为奇数,而、均为偶数,
故(*)式不能成立;
即不存在正整数m、n、k,且,使得、、成等差数列.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）设点,因为点T到点的距离与到直线的距离之比为,
所以,整理得,
所以E的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为,
①直线的斜率不存在时,则可设直线方程为,,
则且由点A和点B在曲线E上,故,
所以,
同理可得,所以;
②直线斜率存在时,则可设方程为,、,
联立,
则即,
且,且,
所以
,
同理,所以,
综上,.
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于,
且曲线E的渐近线方程为,
故可分别设直线和直线的方程为和,且,
联立得,设、,
则,
,,
故,
因为P是中点,所以即,
同理可得,
所以P到两渐近线的距离分别为,
,
Q到两渐近线的距离分别为,
,
由上知两渐近线垂直,故四边形是矩形,连接,
则四边形面积为
,
因为,所以,
所以,
所以四边形面积的取值范围为.