湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考（一）数学试题及参考答案

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命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数满足（是虚数单位），则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，则向量在向量上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 21B. 19C. 12D. 42
5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若，记，则．
A 136人B. 272人C. 328人D. 820人
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. 四点共面B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C. 平面D. 平面平面
10. 已知函数，则（ ）
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有6个交点，则
11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 是以8为周期的周期函数
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为______．
13. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.
14. 已知点为扇形弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若角的平分线交于点，求的长．
16. 已知为函数的极值点．
（1）求的值；
（2）设函数，若对，使得，求的取值范围．
17. 已知四棱锥中，平面底面为的中点，为棱上异于的点．
（1）证明：；
（2）试确定点的位置，使与平面所成角的余弦值为．
18. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）.
（1）若为圆上的动点，求线段长度的最小值；
（2）设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点.
19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：
（1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列.
①求的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛．
参考公式： .日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量千张
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
04